题目
15 填空 (3分) 设 sum_(n=1)^infty(-1)^n-1a_(n)=2, sum_(n=1)^inftya_(2n-1)=5, 则 sum_(n=1)^inftya_(n)=()
15 填空 (3分) 设 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{n}=2, \sum_{n=1}^{\infty}a_{2n-1}=5, 则 \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=()$
题目解答
答案
已知条件为：
1. $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n = 2$，即 $a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots = 2$。
2. $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} = 5$，即 $a_1 + a_3 + a_5 + \cdots = 5$。
将奇数项和偶数项分开，设偶数项和为 $S_{\text{偶}}$，则：
\[
5 - S_{\text{偶}} = 2 \implies S_{\text{偶}} = 3
\]
因此，总和为：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = 5 + 3 = 8
\]
答案：$\boxed{8}$