题目

(17)(本题满分10分)-|||-求二元函数 =(x)^2+(y)^2-2ln |x|-2ln y(xneq 0,yneq 0) 的极值.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括驻点的求解、二阶偏导数检验法的应用，以及定义域对极值点有效性的影响。

解题核心思路：

  1. 求驻点：通过求偏导数并解方程组，找到可能的极值点。
  2. 判断极值类型：利用二阶偏导数构造判别式，结合定义域筛选有效驻点，确定极值的性质。

破题关键点：

  • 定义域限制：注意函数中$\ln|x|$和$\ln y$的存在，导致$x \neq 0$且$y > 0$，需排除$y \leq 0$的驻点。
  • 判别式应用：通过$B^2 - AC$的符号判断极值存在性，结合$A$的符号确定极值类型。

求驻点

  1. 求偏导数：

    • $\dfrac{\partial z}{\partial x} = 2x - \dfrac{2}{x}$
    • $\dfrac{\partial z}{\partial y} = 2y - \dfrac{2}{y}$

  2. 解方程组：
    $\begin{cases} 2x - \dfrac{2}{x} = 0 \\ 2y - \dfrac{2}{y} = 0 \end{cases}$
    解得：

    • $x = \pm 1$
    • $y = \pm 1$

  3. 筛选有效驻点：
    由于$y > 0$，舍去$y = -1$的情况，有效驻点为$(1,1)$和$(-1,1)$。

判断极值类型

  1. 计算二阶偏导数：

    • $A = \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2 + \dfrac{2}{x^2}$
    • $B = \dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0$
    • $C = \dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2 + \dfrac{2}{y^2}$

  2. 判别式：
    $B^2 - AC = -\left(2 + \dfrac{2}{x^2}\right)\left(2 + \dfrac{2}{y^2}\right) < 0$
    且$A > 0$，故有效驻点均为极小值点。

  3. 计算极小值：

    • 在$(1,1)$处：$z = 1^2 + 1^2 - 2\ln 1 - 2\ln 1 = 2$
    • 在$(-1,1)$处：$z = (-1)^2 + 1^2 - 2\ln 1 - 2\ln 1 = 2$