题目

设向量组α1,α2,α3 线性无关，α1,α2,α3,α1,α2,α3。则当常数 c 满足（ ）时，α1,α2,α3线性无关。α1,α2,α3

设向量组 线性无关，,。

则当常数 c 满足（  ）时，线性无关。

题目解答

答案

1. 将表示为 的线性组合

2. 检查  线性无关的条件

假设存在常数 使得：

将  代入：

展开并合并同类项：

 

因为 线性无关，所以系数必须全为零：

3. 求解系数方程组

从第二个方程可以得到：

将 代入第三个方程：

所以：

将代入第一个方程：

因为 不是零向量，所以：

4. 结论

当  时， 线性相关，所以不满足题目要求。

当 时，线性无关。

选项  为正确答案。

解析

步骤 1：将β1,β2,β3表示为 α1,α2,α3的线性组合
${\beta }_{1}={\alpha }_{1}-{\alpha }_{2}$ ${\beta }_{2}={\alpha }_{2}-{\alpha }_{3}$ ${\beta }_{3}={\alpha }_{3}-c{\alpha }_{1}$
步骤 2：检查 β1,β2,β3 线性无关的条件
假设存在常数k1,k2,k3 使得：
${k}_{1}{\beta }_{1}+{k}_{2}{\beta }_{2}+{k}_{3}{\beta }_{3}=0$
将 β1,β2,β3 代入：
${k}_{1}({\alpha }_{1}-{\alpha }_{2})+{k}_{2}({\alpha }_{2}-{\alpha }_{3})$$+{k}_{3}({\alpha }_{3}-c{\alpha }_{1})=0$
展开并合并同类项：
${k}_{1}{\alpha }_{1}-{k}_{1}{\alpha }_{2}+{k}_{2}{\alpha }_{2}-{k}_{2}{\alpha }_{3}+$${k}_{3}{\alpha }_{3}-{k}_{3}c{\alpha }_{1}=0$
$({k}_{1}-{k}_{3}c){\alpha }_{1}+(-{k}_{1}+{k}_{2}){\alpha }_{2}+$ $(-{k}_{2}+{k}_{3}){\alpha }_{3}=0$
因为 α1,α2,α3线性无关，所以系数必须全为零：
${k}_{1}-{k}_{3}c=0$
$-{k}_{1}+{k}_{2}=0$
$-{k}_{2}+{k}_{3}=0$
步骤 3：求解系数方程组
从第二个方程可以得到：
${k}_{2}={k}_{1}$
将 ${k}_{2}={k}_{1}$代入第三个方程：
$-{k}_{1}+{k}_{3}=0$
所以：
${k}_{3}={k}_{1}$
将${k}_{3}={k}_{1}$代入第一个方程：
${k}_{1}-{k}_{1}c=0$
${k}_{1}(1-c)=0$
因为 k1不是零向量，所以：
c=1
步骤 4：结论
当 c=1 时，β1,β2,β3 线性相关，所以不满足题目要求。
当$c\neq 1$ 时，β1,β2,β3线性无关。