题目

设向量组α1,α2,α3 线性无关，α1,α2,α3,α1,α2,α3。则当常数 c 满足（ ）时，α1,α2,α3线性无关。α1,α2,α3

设向量组 线性无关，,。

则当常数 c 满足（  ）时，线性无关。

题目解答

答案

1. 将表示为 的线性组合

2. 检查  线性无关的条件

假设存在常数 使得：

将  代入：

展开并合并同类项：

 

因为 线性无关，所以系数必须全为零：

3. 求解系数方程组

从第二个方程可以得到：

将 代入第三个方程：

所以：

将代入第一个方程：

因为 不是零向量，所以：

4. 结论

当  时， 线性相关，所以不满足题目要求。

当 时，线性无关。

选项  为正确答案。

解析

考查要点：本题主要考查向量组的线性相关性判断，需要利用线性无关的定义，通过构造齐次方程组并分析解的情况来确定参数条件。

解题核心思路：

  1. 线性无关的定义：若向量组线性无关，则其线性组合仅在系数全为零时成立。
  2. 代入表达式：将$\beta_1, \beta_2, \beta_3$用$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$表示，代入线性组合等于零的条件。
  3. 系数分析：利用$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关的性质，得到关于系数$k_1, k_2, k_3$的方程组。
  4. 解的存在性：通过解方程组判断是否存在非零解，从而确定$\beta_1, \beta_2, \beta_3$的线性相关性。

破题关键点：

  • 方程组的构造：正确展开并合并同类项，得到系数方程。
  • 参数$c$的临界值：通过方程组解的讨论，找到$c$的临界值（$c=1$），进而确定$c$的取值范围。

  1. 构造齐次方程
    假设存在常数$k_1, k_2, k_3$使得：
    $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 = 0$
    将$\beta_1, \beta_2, \beta_3$代入得：
    $k_1(\alpha_1 - \alpha_2) + k_2(\alpha_2 - \alpha_3) + k_3(\alpha_3 - c\alpha_1) = 0$

  2. 展开并整理
    展开后合并同类项：
    $(k_1 - k_3c)\alpha_1 + (-k_1 + k_2)\alpha_2 + (-k_2 + k_3)\alpha_3 = 0$

  3. 利用$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关
    系数必须全为零，得到方程组：
    $\begin{cases} k_1 - k_3c = 0 \\ -k_1 + k_2 = 0 \\ -k_2 + k_3 = 0 \end{cases}$

  4. 解方程组

    • 从第二个方程得：$k_2 = k_1$
    • 代入第三个方程得：$-k_1 + k_3 = 0 \Rightarrow k_3 = k_1$
    • 代入第一个方程得：$k_1 - k_1c = 0 \Rightarrow k_1(1 - c) = 0$

  5. 分析解的情况

    • 若$c \neq 1$，则$k_1 = 0$，进而$k_2 = 0, k_3 = 0$，仅有零解，$\beta_1, \beta_2, \beta_3$线性无关。
    • 若$c = 1$，则$k_1$可取任意值，存在非零解，$\beta_1, \beta_2, \beta_3$线性相关。