题目
12.画出下列各曲面所围立体的图形:-|||-(1) z=0 ,z=3, -y=0, -sqrt (3)y=0 ^2+(y)^2=1 (在第一卦限内);-|||-(2) =0, y=0 ,z=0, ^2+(y)^2=({R)^2} ^2+(z)^2=(R)^2 (在第一卦限内).
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查学生对空间曲面交线的理解，以及在第一卦限内构建立体图形的空间想象能力。需要结合多个曲面方程，分析它们的几何形状及交线，确定围成区域的边界。
解题核心思路：
- 识别曲面类型：明确每个方程对应的几何图形（如平面、圆柱面等）。
- 确定第一卦限限制：所有坐标分量非负，缩小图形范围。
- 分析交线关系：找到不同曲面的交线，确定立体边界的轮廓。
- 分层构建图形：从底面（如xy平面）开始，逐步叠加其他曲面的约束。
破题关键点：
- 第（1）题：圆柱面$x^2+y^2=1$限制底面，平面$x-y=0$和$x-\sqrt{3}y=0$形成夹角，$z=0$和$z=3$限定高度。
- 第（2）题：两个圆柱面$x^2+y^2=R^2$和$y^2+z^2=R^2$的交线在第一卦限内形成对称曲线，与坐标平面共同围成立体。
第（1）题
曲面分析
- $z=0$和$z=3$：上下底面，分别对应xy平面和$z=3$的水平面。
- $x-y=0$和$x-\sqrt{3}y=0$：两个竖直平面，在x-y平面上的投影为直线$y=x$和$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$，夹角为$30^\circ$。
- $x^2+y^2=1$：半径为1的圆柱面，沿z轴延伸，在第一卦限内为四分之一圆柱。
交线与边界
- 圆柱面与平面交线：圆柱面与两个平面的交线为两条螺旋线，但因限制在第一卦限，实际为圆柱面上的直线段。
- 整体轮廓：立体被限制在圆柱面内部，上下底面之间，且被两个平面夹住，形成一个扇形柱体。
第（2）题
曲面分析
- $x=0$、$y=0$、$z=0$：坐标平面，限定第一卦限。
- $x^2+y^2=R^2$：沿z轴的圆柱面，在第一卦限为四分之一圆柱。
- $y^2+z^2=R^2$：沿x轴的圆柱面，在第一卦限为四分之一圆柱。
交线与边界
- 两圆柱面交线：联立方程得$x=z$，且$x^2+y^2=R^2$，交线为直线$x=z$与圆柱面的交集，在第一卦限内形成对角线轮廓。
- 整体轮廓：立体由两个圆柱面和坐标平面围成，形状为八分之一圆柱体的交集区域。