题目

(15)int_(-(pi)/(2))^(pi)/(2)sqrt(cos x-cos^3)xdx;

(15)$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\cos x-\cos^{3}x}dx;$

题目解答

答案

将被积函数化简为 $\sqrt{\cos x - \cos^3 x} = |\sin x| \sqrt{\cos x}$。由于 $\sin x$ 在 $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上的符号不同，分段积分： \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x| \sqrt{\cos x} \, dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} -\sin x \sqrt{\cos x} \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sqrt{\cos x} \, dx \] 令 $u = \cos x$，则两积分均化为 $\int_{0}^{1} \sqrt{u} \, du = \frac{2}{3}$。总和为 $\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$。或者利用偶函数性质，原积分等于 $2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sqrt{\cos x} \, dx = \frac{4}{3}$。答案：$\boxed{\frac{4}{3}}$

解析

考查要点：本题主要考查定积分的计算，涉及被积函数的化简、偶函数的积分性质以及变量代换法的应用。

解题核心思路：

化简被积函数：通过提取公因式和三角恒等式，将根号内的表达式转化为更易处理的形式。
处理绝对值：根据积分区间内$\sin x$的符号，分段处理或利用偶函数性质简化计算。
变量代换：通过代换$u = \cos x$，将积分转化为关于$u$的简单幂函数积分。

破题关键点：

识别$\cos x - \cos^3 x = \cos x \sin^2 x$，从而将被积函数化简为$|\sin x|\sqrt{\cos x}$。
利用偶函数性质，将原积分转化为$2$倍的$[0, \frac{\pi}{2}]$区间积分，减少计算量。

步骤1：化简被积函数

原被积函数为$\sqrt{\cos x - \cos^3 x}$，提取公因式$\cos x$：
$\cos x - \cos^3 x = \cos x (1 - \cos^2 x) = \cos x \sin^2 x.$
因此：
$\sqrt{\cos x - \cos^3 x} = \sqrt{\cos x \sin^2 x} = |\sin x| \sqrt{\cos x}.$

步骤2：利用偶函数性质

积分区间$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$关于原点对称，且被积函数$|\sin x|\sqrt{\cos x}$是偶函数（因为$\cos x$和$|\sin x|$均为偶函数）。因此：
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x| \sqrt{\cos x} \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sqrt{\cos x} \, dx.$

步骤3：变量代换

令$u = \cos x$，则$du = -\sin x \, dx$，即$\sin x \, dx = -du$。当$x$从$0$到$\frac{\pi}{2}$时，$u$从$1$到$0$。积分变为：
$2 \int_{1}^{0} \sqrt{u} \cdot (-du) = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{u} \, du.$

步骤4：计算积分

计算$\int \sqrt{u} \, du$：
$\int \sqrt{u} \, du = \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C.$
代入上下限$0$到$1$：
$2 \cdot \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_{0}^{1} \right] = 2 \cdot \frac{2}{3} (1 - 0) = \frac{4}{3}.$