若反常积分f2 ^2 x(lnx)^收敛,则k的取值范围为_ __A.若反常积分f2 ^2 x(lnx)^收敛,则k的取值范围为_ __B.若反常积分f2 ^2 x(lnx)^收敛,则k的取值范围为_ __C.若反常积分f2 ^2 x(lnx)^收敛,则k的取值范围为_ __D.若反常积分f2 ^2 x(lnx)^收敛,则k的取值范围为_ __

考查要点：本题主要考查反常积分（广义积分）的收敛性判断，特别是对无穷区间上积分收敛条件的理解。

解题核心思路：
对于形如 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^k} \, dx$ 的反常积分，其收敛性取决于指数 $k$ 的大小。关键点在于判断被积函数在无穷远处的衰减速度是否足够快。当 $k > 1$ 时，函数 $\frac{1}{x^k}$ 衰减足够快，积分收敛；反之发散。

破题关键：
明确积分形式为无穷区间上的反常积分，直接应用积分收敛的判定条件：$\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^k} \, dx$ 收敛当且仅当 $k > 1$。

假设题目中的反常积分为 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^k} \, dx$，则其收敛性分析如下：

1. 计算积分：
   $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^k} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} x^{-k} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ \frac{x^{-k+1}}{-k+1} \right]_1^{b}$

2. 判断极限是否存在：

   • 当 $-k + 1 < 0$（即 $k > 1$）时，$x^{-k+1}$ 在 $b \to +\infty$ 时趋于 $0$，因此：
     $\lim_{b \to +\infty} \left( \frac{b^{-k+1}}{-k+1} - \frac{1}{-k+1} \right) = \frac{1}{k-1}$
     积分收敛，值为 $\frac{1}{k-1}$。
   • 当 $k \leq 1$ 时，积分发散（例如 $k=1$ 时积分变为 $\ln x$，发散）。

结论：积分收敛当且仅当 $k > 1$，对应选项 A。