题目
2.一质点的运动方程是-|||-(t)=Rcos omega t (t)=Rsin omega t R、w为正常数。从-|||-_(1)=0 到 _(2)=dfrac (pi )(2w) 时间内该质点的路程是[ ]-|||-A dfrac (pi )(2)-|||-B 2R-|||-C πR-|||-D sqrt (2)R
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查质点做圆周运动时路程的计算，涉及参数方程的轨迹判断、弧长公式的应用。
解题核心思路：
- 轨迹判断：通过参数方程$x(t)=R\cos \omega t$和$y(t)=R\sin \omega t$，确定质点的运动轨迹为半径为$R$的圆。
- 转角计算：根据时间区间$t_1=0$到$t_2=\dfrac{\pi}{2\omega}$，结合角速度$\omega$，计算质点转过的圆心角$\theta$。
- 弧长公式：利用弧长公式$s=R\theta$，代入$\theta$的值求路程。
破题关键点：
- 轨迹方程：通过$x^2 + y^2 = R^2$确认圆轨迹。
- 圆心角计算：$\theta = \omega \cdot \Delta t$，其中$\Delta t = \dfrac{\pi}{2\omega}$。
- 路程与弧长等价：圆周运动中路程等于弧长。
-
轨迹分析
将参数方程代入$x^2 + y^2$：
$x^2 + y^2 = R^2\cos^2\omega t + R^2\sin^2\omega t = R^2(\cos^2\omega t + \sin^2\omega t) = R^2$
因此，质点的轨迹是半径为$R$的圆。 -
转角计算
时间区间为$\Delta t = t_2 - t_1 = \dfrac{\pi}{2\omega} - 0 = \dfrac{\pi}{2\omega}$。
转过的圆心角为：
$\theta = \omega \cdot \Delta t = \omega \cdot \dfrac{\pi}{2\omega} = \dfrac{\pi}{2}$
即质点转过四分之一圆周。 -
路程计算
弧长公式为：
$s = R\theta = R \cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi R}{2}$
对应选项A。