6.（3.0分）【单选题】设f(z)=ax+y+i(bx+y)是解析函数，则实常数a,b为（）A. a=1,b=1B. a=-1,b=1C. a=-1,b=-1D. a=1,b=-1

本题考查复变函数解析的充要条件，解题思路是根据柯西 - 黎曼方程来确定实常数 $a$ 和 $b$ 的值。

已知复变函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 解析的充要条件是 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 满足柯西 - 黎曼方程：$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ 且 $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。

对于函数 $f(z)=ax + y + i(bx + y)$，我们可以得到 $u(x,y)=ax + y$，$v(x,y)=bx + y$。

1. 首先求 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 的偏导数：
   • 对 $u(x,y)=ax + y$ 求关于 $x$ 的偏导数，根据求导公式 $(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为 $0$，可得 $\frac{\partial u}{\partial x}=a$。
   • 对 $u(x,y)=ax + y$ 求关于 $y$ 的偏导数，可得 $\frac{\partial u}{\partial y}=1$。
   • 对 $v(x,y)=bx + y$ 求关于 $x$ 的偏导数，可得 $\frac{\partial v}{\partial x}=b$。
   • 对 $v(x,y)=bx + y$ 求关于 $y$ 的偏导数，可得 $\frac{\partial v}{\partial y}=1$。
2. 然后根据柯西 - 黎曼方程 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ 列方程：
   • 由 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$，可得 $a = 1$。
   • 由 $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$，可得 $1=-b$，即 $b = -1$。