题目
13． 若函数 2=2x2+2y2+3xy+ax+by+C 在点(－2，3)处取得极小值－3，则常数 a、b、c 之积 abc=_________．
13． 若函数 2=2x2+2y2+3xy+ax+by+C 在点(－2，3)处取得极小值－3，则常数 a、b、c 之积 abc=_________．
题目解答
答案
正确答案：30解析：由极值的必要条件知在点(－2，3)处，zˊx=0，zˊy=0，从而可分别求出 a、b、c 之值． 知识模块：多元函数微分学
解析
步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数 \(z = 2x^2 + 2y^2 + 3xy + ax + by + c\) 关于 \(x\) 和 \(y\) 的偏导数。
\[z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 4x + 3y + a\]
\[z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = 4y + 3x + b\]
步骤 2：利用极值条件
由于函数在点 \((-2, 3)\) 处取得极小值，根据极值的必要条件，该点处的偏导数应为0。
\[z_x(-2, 3) = 4(-2) + 3(3) + a = 0\]
\[z_y(-2, 3) = 4(3) + 3(-2) + b = 0\]
解这两个方程，得到：
\[a = 8 - 9 = -1\]
\[b = -12 + 6 = -6\]
步骤 3：计算常数 c
由于函数在点 \((-2, 3)\) 处的值为 -3，代入 \(x = -2\)，\(y = 3\)，\(a = -1\)，\(b = -6\)，得到：
\[2(-2)^2 + 2(3)^2 + 3(-2)(3) + (-1)(-2) + (-6)(3) + c = -3\]
\[8 + 18 - 18 + 2 - 18 + c = -3\]
\[c = -3 - 8 - 18 + 18 - 2 + 18 = 5\]
步骤 4：计算 abc 的值
\[abc = (-1) \times (-6) \times 5 = 30\]
首先，我们需要计算函数 \(z = 2x^2 + 2y^2 + 3xy + ax + by + c\) 关于 \(x\) 和 \(y\) 的偏导数。
\[z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 4x + 3y + a\]
\[z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = 4y + 3x + b\]
步骤 2：利用极值条件
由于函数在点 \((-2, 3)\) 处取得极小值，根据极值的必要条件，该点处的偏导数应为0。
\[z_x(-2, 3) = 4(-2) + 3(3) + a = 0\]
\[z_y(-2, 3) = 4(3) + 3(-2) + b = 0\]
解这两个方程，得到：
\[a = 8 - 9 = -1\]
\[b = -12 + 6 = -6\]
步骤 3：计算常数 c
由于函数在点 \((-2, 3)\) 处的值为 -3，代入 \(x = -2\)，\(y = 3\)，\(a = -1\)，\(b = -6\)，得到：
\[2(-2)^2 + 2(3)^2 + 3(-2)(3) + (-1)(-2) + (-6)(3) + c = -3\]
\[8 + 18 - 18 + 2 - 18 + c = -3\]
\[c = -3 - 8 - 18 + 18 - 2 + 18 = 5\]
步骤 4：计算 abc 的值
\[abc = (-1) \times (-6) \times 5 = 30\]