int dfrac (dx)(x+sqrt {1-{x)^2}}.

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是涉及根号和分式结构的积分技巧。关键在于选择合适的换元方法简化积分表达式。

解题核心思路：
当积分中出现$\sqrt{1-x^2}$时，通常采用三角换元法，令$x = \sin u$，将根号部分转化为$\cos u$，从而简化分母结构。随后通过代数变形或分部积分法处理分式，最终将结果转换回原变量$x$。

破题关键点：

1. 三角换元：令$x = \sin u$，将$\sqrt{1-x^2}$转化为$\cos u$。
2. 分式拆分与联立方程：将积分拆分为两个相关积分，联立求解简化计算。
3. 变量回代：将中间变量$u$用$\arcsin x$表示，得到最终结果。

步骤1：三角换元

令$x = \sin u$，则$dx = \cos u \, du$，且$\sqrt{1-x^2} = \cos u$。原积分变为：
$\int \frac{\cos u \, du}{\sin u + \cos u}$

步骤2：拆分积分

将分子$\cos u$拆分为$(\sin u + \cos u) - \sin u$，积分拆分为：
$\int \frac{\cos u}{\sin u + \cos u} \, du = \int \left( 1 - \frac{\sin u}{\sin u + \cos u} \right) du$

步骤3：联立方程求解

设原积分为$I$，则：
$I = \int \frac{\cos u}{\sin u + \cos u} \, du = u - \int \frac{\sin u}{\sin u + \cos u} \, du$
令$J = \int \frac{\sin u}{\sin u + \cos u} \, du$，同理可得：
$J = u - I$
联立得：
$I + J = u, \quad I - J = \ln|\sin u + \cos u|$
解得：
$I = \frac{1}{2} \left( u + \ln|\sin u + \cos u| \right) + C$

步骤4：变量回代

将$u = \arcsin x$，$\sin u + \cos u = x + \sqrt{1-x^2}$代入，得最终结果：
$\frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} \ln|x + \sqrt{1-x^2}| + C$