设α是A的对应于特征值λ0的特征向量,证明:-|||-(1)α是A^m的对应于特征值λ7的特征向量;-|||-(2)对多项式 f(x),α是f(A)的对应于 f(λ0)的特征向量.

本题主要考查特征向量和特征值的定义及性质，解题的关键在于利用特征向量的定义$A\alpha = \lambda_0\alpha$，通过逐步推导来证明$\alpha$是$A^m$和$f(A)$的特征向量。

（1）证明$\alpha$是$A^m$的对应于特征值$\lambda_0^m$的特征向量

• 已知$\alpha$是$A$的对应于特征值$\lambda_0$的特征向量，根据特征向量的定义，有$A\alpha = \lambda_0\alpha$。
• 计算$A^2\alpha$：
  $A^2\alpha = A(A\alpha)$，将$A\alpha = \lambda_0\alpha$代入可得$A^2\alpha = A(\lambda_0\alpha)$。
  根据矩阵乘法的数乘性质$A(k\vec{v}) = kA\vec{v}$（其中$k$为常数，$\vec{v}$为向量），则$A(\lambda_0\alpha) = \lambda_0(A\alpha)$。
  再把$A\alpha = \lambda_0\alpha$代入，得到$A^2\alpha = \lambda_0(\lambda_0\alpha)=\lambda_0^2\alpha$。
• 用数学归纳法证明$A^m\alpha = \lambda_0^m\alpha$：
  • 基础步骤：当$m = 1$时，$A^1\alpha = A\alpha = \lambda_0\alpha$，命题成立。
  • 归纳步骤：假设当$m = k$（$k\geq1$）时，$A^k\alpha = \lambda_0^k\alpha$成立。
    那么当$m = k + 1$时，$A^{k + 1}\alpha = A(A^k\alpha)$，将$A^k\alpha = \lambda_0^k\alpha$代入可得$A^{k + 1}\alpha = A(\lambda_0^k\alpha)$。
    根据矩阵乘法的数乘性质，$A(\lambda_0^k\alpha) = \lambda_0^k(A\alpha)$，再把$A\alpha = \lambda_0\alpha$代入，得到$A^{k + 1}\alpha = \lambda_0^k(\lambda_0\alpha)=\lambda_0^{k + 1}\alpha$。
    由数学归纳法可知，对于任意正整数$m$，都有$A^m\alpha = \lambda_0^m\alpha$，所以$\alpha$是$A^m$的对应于特征值$\lambda_0^m$的特征向量。

（2）证明对多项式$f(x)$，$\alpha$是$f(A)$的对应于$f(\lambda_0)$的特征向量

设多项式$f(x)=a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1}+\cdots + a_1x + a_0$，其中$a_i$（$i = 0,1,\cdots,n$）为常数。
则$f(A)=a_nA^n + a_{n - 1}A^{n - 1}+\cdots + a_1A + a_0E$（$E$为单位矩阵）。
计算$f(A)\alpha$：
$f(A)\alpha=(a_nA^n + a_{n - 1}A^{n - 1}+\cdots + a_1A + a_0E)\alpha$
根据矩阵乘法的分配律$(B_1 + B_2)\vec{v}=B_1\vec{v}+B_2\vec{v}$，可得：
$f(A)\alpha=a_nA^n\alpha + a_{n - 1}A^{n - 1}\alpha+\cdots + a_1A\alpha + a_0E\alpha$
由（1）可知$A^m\alpha = \lambda_0^m\alpha$（$m = 1,2,\cdots,n$），且$E\alpha=\alpha$，则：
$f(A)\alpha=a_n\lambda_0^n\alpha + a_{n - 1}\lambda_0^{n - 1}\alpha+\cdots + a_1\lambda_0\alpha + a_0\alpha$
提取公因式$\alpha$可得：
$f(A)\alpha=(a_n\lambda_0^n + a_{n - 1}\lambda_0^{n - 1}+\cdots + a_1\lambda_0 + a_0)\alpha$
而$f(\lambda_0)=a_n\lambda_0^n + a_{n - 1}\lambda_0^{n - 1}+\cdots + a_1\lambda_0 + a_0$，所以$f(A)\alpha = f(\lambda_0)\alpha$，即$\alpha$是$f(A)$的对应于$f(\lambda_0)$的特征向量。