题目

设向量组 _(1)=((1,2,3,3))^T, (alpha )_(2)=((1,-1,2,1))^T (alpha )_(3)=((1,1,0,1))^T, (alpha )_(4)=((1,3,-2,1))^T (alpha )_(5)=((1,4,1,3))^T, 求该向量组的秩和一个极大线性无关组.

设向量组 $\alpha_1=(1,2,3,3)^T,\alpha_2=(1,-1,2,1)^T,\alpha_3=(1,1,0,1)^T,\alpha_4=(1,3,-2,1)^T,\alpha_5=(1,4,1,3)^T$ , 求该向量组的秩和一个极大线性无关组.

题目解答

答案

设 $A = (\alpha _ 1 ,\alpha _ 2 ,\alpha _ 3 ,\alpha _ 4,\alpha _ 5 )$ ,

$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\2 & -1 & 1 & 3 & 4\\3 & 2 & 0 & -2 & 1\\3 & 1 & 1 & 1 & 3\end{pmatrix}$ .

$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\2 & -1 & 1 & 3 & 4\\3 & 2 & 0 & -2 & 1\\3 & 1 & 1 & 1 & 3\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & -3 & -1 & 1 & 2\\0 & -1 & -3 & -5 & -2\\0 & -2 & -2 & -2 & 0\end{pmatrix}$

$\rightarrow \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & -3 & -1 & 1 & 2\\0 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{16}{3} & - \frac{8}{3}\\0 & 0 & - \frac{4}{3} & - \frac{8}{3} & - \frac{4}{3}\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & -3 & -1 & 1 & 2\\0 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{16}{3} & - \frac{8}{3}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

则向量组的秩为3,其中一个极大无关组由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 组成.

解析

步骤 1：构造矩阵
构造矩阵$A=({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3},{\alpha }_{4},{\alpha }_{5})$，其中${\alpha }_{1}={(1,2,3,3)}^{T}$，${\alpha }_{2}={(1,-1,2,1)}^{T}$，${\alpha }_{3}={(1,1,0,1)}^{T}$，${\alpha }_{4}={(1,3,-2,1)}^{T}$，${\alpha }_{5}={(1,4,1,3)}^{T}$。

步骤 2：化简矩阵
将矩阵$A$化简为行阶梯形矩阵，以确定向量组的秩和一个极大线性无关组。
$A= \left (\begin{matrix} 1& 1& 1& 1& 1\\ 2& -1& 1& 3& 4\\ 3& 2& 0& -2& 1\\ 3& 1& 1& 1& 3\end{matrix} ) \right.$
通过行变换，化简为行阶梯形矩阵。

步骤 3：确定秩和极大线性无关组
根据行阶梯形矩阵，确定向量组的秩和一个极大线性无关组。行阶梯形矩阵中非零行的个数即为向量组的秩，非零行对应的列向量即为极大线性无关组。