题目

6.用向量法证明以下各题:-|||-(1)三角形三条中线共点;-|||-(2)P是 Delta ABC 重心的充要条件是 overrightarrow (PA)+overrightarrow (PB)+overrightarrow (PC)=0.-|||-7.已知向量a,b不共线,问 c=2a-b 与 d=3a-2b 是否线性相关?-|||-8.证明三个向量 =-(e)_(1)+3(e)_(2)+2(e)_(3) =4(e)_(1)-6(e)_(2)+2(e)_(3), =-3(e)_(1)+12(e)_(2)+11(e)_(3) 共面,其中a能否用b,c-|||-线性表示?如能表示,写出线性表示关系式.-|||-9.证明三个向量 lambda a-mu b mu b-vc -lambda a 共面.-|||-10.设 overrightarrow (O{P)_(i)}=(r)_(i)(i=1,2,3,4), 试证P1,P2,P3,P4四点共面的充要条件是存在不全为零的实数-|||-lambda ,(i=1,2,3,4), 使-|||-(lambda )_(1)(r)_(1)+(lambda )_(2)(r)_(2)+(lambda )_(3)(r)_(3)+(lambda )_(4)(r)_(4)=0, 且 sum _(i=1)^4(lambda )_(i)=0.

题目解答

答案

解析

第8题：
本题考查向量共面性的判定及线性表示问题。

  • 共面条件：三个向量共面当且仅当它们的混合积为0，或其中一个向量可由另两个线性表示。
  • 线性表示：若存在实数$k_1, k_2$使得$a = k_1 b + k_2 c$，则$a$可用$b, c$线性表示。

第10题：
本题考查四点共面的充要条件与向量线性相关性的关系。

  • 共面条件：四点共面等价于以某一点为公共起点的三个向量线性相关。
  • 线性组合：需通过向量线性组合的约束条件，推导出位置向量$\overrightarrow{OP_i}$的线性关系。

第8题

步骤1：验证向量共面

计算向量$a, b, c$的混合积：
$\begin{aligned}a \cdot (b \times c) &= \begin{vmatrix}\mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\-1 & 3 & 2 \\4 & -6 & 2 \\-3 & 12 & 11\end{vmatrix} \\ &= -1 \cdot \begin{vmatrix} -6 & 2 \\ 12 & 11 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -3 & 11 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -6 \\ -3 & 12 \end{vmatrix} \\ &= -1(-66 - 24) - 3(44 + 6) + 2(48 - 18) \\ &= 90 - 150 + 60 = 0. \end{aligned}$
混合积为0，说明三向量共面。

步骤2：求$a$的线性表示

设$a = k_1 b + k_2 c$，即：
$\begin{cases}-1 = 4k_1 - 3k_2, \\3 = -6k_1 + 12k_2, \\2 = 2k_1 + 11k_2.\end{cases}$
解前两式：

  1. $4k_1 - 3k_2 = -1$
  2. $-6k_1 + 12k_2 = 3$

消元得：
$k_1 = -\dfrac{1}{10}, \, k_2 = \dfrac{1}{5}$，代入第三式验证成立。

第10题

步骤1：四点共面的向量条件

四点$P_1, P_2, P_3, P_4$共面 $\iff$ 向量$\overrightarrow{P_1P_2}, \overrightarrow{P_1P_3}, \overrightarrow{P_1P_4}$线性相关。

步骤2：转化为位置向量的关系

设$\overrightarrow{P_1P_i} = \overrightarrow{OP_i} - \overrightarrow{OP_1} = \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_1$，则线性相关性可表示为：
$\lambda_2 (\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1) + \lambda_3 (\mathbf{r}_3 - \mathbf{r}_1) + \lambda_4 (\mathbf{r}_4 - \mathbf{r}_1) = 0.$
整理得：
$\lambda_1 \mathbf{r}_1 + \lambda_2 \mathbf{r}_2 + \lambda_3 \mathbf{r}_3 + \lambda_4 \mathbf{r}_4 = 0 \quad (\lambda_1 = -\lambda_2 - \lambda_3 - \lambda_4).$
约束条件为$\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 = 0$。