题目
.lim _(xarrow infty )xsin dfrac (1)(2x)= __
题目解答
答案
1/2。 x→∞ 1/x→0 sin1/2x，①~1/2x ②给x配个2，1/2×2x，＝1/2×[1/（1/2x)]，并把小括号里的写到sin下面去。
解析
步骤 1：分析极限形式
观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow \infty }x\sin \dfrac {1}{2x}$，可以看到当 $x$ 趋向于无穷大时，$\sin \dfrac {1}{2x}$ 的值趋向于 $\sin 0 = 0$。然而，由于 $x$ 也趋向于无穷大，我们需要进一步分析这个表达式。
步骤 2：使用等价无穷小替换
当 $x$ 趋向于无穷大时，$\dfrac {1}{2x}$ 趋向于 $0$，因此 $\sin \dfrac {1}{2x}$ 可以用 $\dfrac {1}{2x}$ 来近似，因为 $\sin x$ 在 $x$ 接近 $0$ 时与 $x$ 等价。所以，原极限可以写为 $\lim _{x\rightarrow \infty }x \cdot \dfrac {1}{2x}$。
步骤 3：计算极限
将 $\sin \dfrac {1}{2x}$ 替换为 $\dfrac {1}{2x}$ 后，原极限变为 $\lim _{x\rightarrow \infty }x \cdot \dfrac {1}{2x} = \lim _{x\rightarrow \infty } \dfrac {1}{2} = \dfrac {1}{2}$。
观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow \infty }x\sin \dfrac {1}{2x}$，可以看到当 $x$ 趋向于无穷大时，$\sin \dfrac {1}{2x}$ 的值趋向于 $\sin 0 = 0$。然而，由于 $x$ 也趋向于无穷大，我们需要进一步分析这个表达式。
步骤 2：使用等价无穷小替换
当 $x$ 趋向于无穷大时，$\dfrac {1}{2x}$ 趋向于 $0$，因此 $\sin \dfrac {1}{2x}$ 可以用 $\dfrac {1}{2x}$ 来近似，因为 $\sin x$ 在 $x$ 接近 $0$ 时与 $x$ 等价。所以，原极限可以写为 $\lim _{x\rightarrow \infty }x \cdot \dfrac {1}{2x}$。
步骤 3：计算极限
将 $\sin \dfrac {1}{2x}$ 替换为 $\dfrac {1}{2x}$ 后，原极限变为 $\lim _{x\rightarrow \infty }x \cdot \dfrac {1}{2x} = \lim _{x\rightarrow \infty } \dfrac {1}{2} = \dfrac {1}{2}$。