39.设y=xsqrt(3-x)在区间[0,3]满足Rolle定理的条件，则定理中的中值ξ=_____.(2分)A. 0B. 1C. 2D. 3

考查要点：本题主要考查罗尔定理的条件验证及导数计算，要求学生能够正确应用定理并求解方程。

解题核心思路：

1. 验证罗尔定理的三个条件：函数在闭区间连续、开区间可导、端点函数值相等。
2. 求导并解方程：对函数求导，令导数为零，解出满足条件的中值ξ。

破题关键点：

• 连续性和可导性：确认函数在区间[0,3]上连续，在(0,3)内可导。
• 端点值相等：计算f(0)和f(3)，验证是否相等。
• 导数计算：正确应用乘积法则求导，并化简方程求解ξ。

验证罗尔定理条件

1. 连续性：函数$f(x)=x\sqrt{3-x}$在区间$[0,3]$上，根号内非负，且各部分均为连续函数，故整体连续。
2. 可导性：在开区间$(0,3)$内，函数由$x$和$\sqrt{3-x}$相乘组成，两者均可导，故$f(x)$可导。
3. 端点值相等：
   $f(0) = 0 \cdot \sqrt{3-0} = 0$，
   $f(3) = 3 \cdot \sqrt{3-3} = 0$，
   因此$f(0) = f(3)$。

求导并解方程

1. 求导：
   由乘积法则，
   $f'(x) = \frac{d}{dx}[x] \cdot \sqrt{3-x} + x \cdot \frac{d}{dx}[\sqrt{3-x}] = \sqrt{3-x} - \frac{x}{2\sqrt{3-x}}.$
   通分得：
   $f'(x) = \frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}.$

2. 令导数为零：
   $\frac{6-3\xi}{2\sqrt{3-\xi}} = 0 \implies 6-3\xi = 0 \implies \xi = 2.$

3. 验证范围：$\xi=2$在区间$(0,3)$内，满足条件。