设函数 f(x) 在点 x=0 的某一邻域内可导，且 f(0)=0，f'(0)neq0，求 lim_(xto0)(int_(0)^x^(2)f(t)dt)/(x^2)int_(0^xf(t)dt)。

我们要求极限：

$\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x^{2}}f(t)dt}{x^{2}\int_{0}^{x}f(t)dt}$

第一步：使用洛必达法则（L’Hospital’s Rule）

观察分子和分母在 $ x \to 0 $ 时都趋于 0：

• 分子：$\int_0^{x^2} f(t) dt \to \int_0^0 f(t) dt = 0$
• 分母：$x^2 \int_0^x f(t) dt \to 0 \cdot \int_0^0 f(t) dt = 0$

所以这是一个 $ \frac{0}{0} $ 型极限，可以使用洛必达法则。

第二步：对分子和分母分别求导

我们对分子和分母关于 $ x $ 求导：

分子求导：

$\frac{d}{dx} \int_0^{x^2} f(t) dt = f(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x f(x^2)$

分母求导：

$\frac{d}{dx} \left( x^2 \int_0^x f(t) dt \right)$

使用乘积法则：

$= \frac{d}{dx}(x^2) \cdot \int_0^x f(t) dt + x^2 \cdot \frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt = 2x \int_0^x f(t) dt + x^2 f(x)$

第三步：代入洛必达法则

$\lim_{x \to 0} \frac{2x f(x^2)}{2x \int_0^x f(t) dt + x^2 f(x)}$

我们可以将分子和分母同时除以 $ x $（注意 $ x \ne 0 $）：

$= \lim_{x \to 0} \frac{2 f(x^2)}{2 \int_0^x f(t) dt + x f(x)}$

第四步：代入 $ x \to 0 $

我们来分析每一项的极限：

• $ f(x^2) \to f(0) = 0 $
• $ \int_0^x f(t) dt \to 0 $
• $ x f(x) \to 0 \cdot f(0) = 0 $

所以分子和分母都趋于 0，仍然是 $ \frac{0}{0} $ 型，再次使用洛必达法则。

第五步：再次对分子和分母求导

分子：$ 2 f(x^2) $

导数为：

$2 \cdot f'(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 4x f'(x^2)$

分母：$ 2 \int_0^x f(t) dt + x f(x) $

导数为：

$2 f(x) + f(x) + x f'(x) = 3 f(x) + x f'(x)$

第六步：再次代入极限

$\lim_{x \to 0} \frac{4x f'(x^2)}{3 f(x) + x f'(x)}$

将分子分母同时除以 $ x $：

$= \lim_{x \to 0} \frac{4 f'(x^2)}{3 \cdot \frac{f(x)}{x} + f'(x)}$

现在我们分析每一项的极限：

• $ f'(x^2) \to f'(0) $
• $ \frac{f(x)}{x} \to f'(0) $（因为 $ f(0) = 0 $，且 $ f $ 在 0 处可导）

所以极限变为：

$\frac{4 f'(0)}{3 f'(0) + f'(0)} = \frac{4 f'(0)}{4 f'(0)} = 1$

✅ 最终答案：

$\boxed{1}$