设 n 阶方阵 A 的行列式 |A|=(1)/(3), 则 |((1)/(3)A)^-1-15A^*|= ().A. 3cdot2^nB. 3cdot(-2)^nC. 3cdot2^n+1D. 3cdot(-2)^n+1

考查要点：本题主要考查矩阵的逆矩阵、伴随矩阵的性质，以及行列式的运算规则。
解题核心思路：

1. 利用伴随矩阵与逆矩阵的关系，将题目中的表达式转化为仅含$A^{-1}$的形式；
2. 化简表达式，提取公共因子；
3. 应用行列式的性质，结合已知条件$|A| = \frac{1}{3}$，计算最终结果。
   破题关键点：

• 伴随矩阵公式：$A^* = |A|A^{-1}$；
• 标量乘矩阵的行列式：$|kA| = k^n |A|$；
• 逆矩阵的行列式：$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$。

步骤1：化简$\left(\frac{1}{3}A\right)^{-1}$

根据逆矩阵的性质，$(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$，得：
$\left(\frac{1}{3}A\right)^{-1} = 3A^{-1}.$

步骤2：化简$15A^*$

利用伴随矩阵与逆矩阵的关系$A^* = |A|A^{-1}$，代入$|A| = \frac{1}{3}$：
$15A^* = 15 \cdot \frac{1}{3}A^{-1} = 5A^{-1}.$

步骤3：合并表达式

原式化简为：
$\left(\frac{1}{3}A\right)^{-1} - 15A^* = 3A^{-1} - 5A^{-1} = -2A^{-1}.$

步骤4：计算行列式

应用行列式的性质：
$|-2A^{-1}| = (-2)^n |A^{-1}| = (-2)^n \cdot \frac{1}{|A|} = (-2)^n \cdot 3.$