题目
6.证明：点列 P_{n)(x_(n),y_(n)) } 收敛于P_(0)(x_(0),y_(0))的充要条件是lim_(n to infty)x_(n)=x_(0)和lim_(n to infty)y_(n)=y_(0).
6.证明：点列$\left \{ P_{n}(x_{n},y_{n})\right \} $收敛于$P_{0}(x_{0},y_{0})$的充要条件是$\lim_{n \to \infty}x_{n}=x_{0}$和$\lim_{n \to \infty}y_{n}=y_{0}$.
题目解答
答案
**必要性**：
若点列 $\{ P_n(x_n, y_n) \}$ 收敛于 $P_0(x_0, y_0)$，则对任意 $\epsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，
$$
\sqrt{(x_n - x_0)^2 + (y_n - y_0)^2} < \epsilon.
$$
由此得 $|x_n - x_0| < \epsilon$ 和 $|y_n - y_0| < \epsilon$，即 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$ 和 $\lim_{n \to \infty} y_n = y_0$。
**充分性**：
若 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$ 和 $\lim_{n \to \infty} y_n = y_0$，则对任意 $\epsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，
$$
|x_n - x_0| < \frac{\epsilon}{\sqrt{2}}, \quad |y_n - y_0| < \frac{\epsilon}{\sqrt{2}}.
$$
此时
$$
\sqrt{(x_n - x_0)^2 + (y_n - y_0)^2} < \epsilon,
$$
即点列收敛于 $P_0(x_0, y_0)$。
**结论**：
点列 $\{ P_n(x_n, y_n) \}$ 收敛于 $P_0(x_0, y_0)$ 的充要条件是 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$ 和 $\lim_{n \to \infty} y_n = y_0$。
$$
\boxed{
\lim_{n \to \infty} P_n = P_0 \iff \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \text{ 且 } \lim_{n \to \infty} y_n = y_0.
}
$$