5. int dfrac (3)({x)^3+1}dx

考查要点：本题主要考查有理函数的不定积分，涉及分母因式分解、部分分式分解以及分项积分的方法，同时需要掌握分母为二次多项式的积分技巧（如配方法、三角代换）。

解题核心思路：

1. 因式分解分母 $x^3 + 1$，将其拆分为 $(x + 1)(x^2 - x + 1)$；
2. 部分分式分解，将原分式拆分为简单分式之和；
3. 分项积分，分别处理每个分式；
4. 对二次分母的积分，通过配方法转化为标准形式，结合反三角函数积分公式。

破题关键点：

• 正确分解分母是基础；
• 部分分式分解时需注意分子形式（线性项）；
• 处理二次分母积分时，需分离分子与分母导数的关系，或通过配方法转化为标准形式。

步骤1：因式分解分母

利用立方和公式：
$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

步骤2：部分分式分解

将原式拆分为：
$\frac{3}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1}$
通过解方程组可得 $A = 1$，$B = -1$，$C = 2$，因此：
$\frac{3}{x^3 + 1} = \frac{1}{x + 1} + \frac{2 - x}{x^2 - x + 1}$

步骤3：分项积分

原积分拆分为两部分：
$\int \frac{3}{x^3 + 1} \, dx = \int \frac{1}{x + 1} \, dx + \int \frac{2 - x}{x^2 - x + 1} \, dx$

第一部分积分

$\int \frac{1}{x + 1} \, dx = \ln |x + 1| + C_1$

第二部分积分

将分子拆分为分母的导数与常数项：
$\frac{2 - x}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{-(2x - 1) + 3}{x^2 - x + 1}$
因此积分拆分为：
$\int \frac{2 - x}{x^2 - x + 1} \, dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} \, dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} \, dx$

第一子积分

$\int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} \, dx = \ln |x^2 - x + 1| + C_2$

第二子积分

对分母配方法：
$x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$
令 $u = \frac{2x - 1}{\sqrt{3}}$，则积分变为：
$\int \frac{1}{u^2 + 1} \, du = \arctan u + C_3 = \arctan \left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) + C_3$

步骤4：合并结果

综合所有部分，最终结果为：
$\ln |x + 1| - \frac{1}{2} \ln |x^2 - x + 1| + \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan \left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) + C$