37 int dfrac (dx)(xsqrt {{x)^2-1}}

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是通过三角替换法或凑微分法处理含有根式$\sqrt{x^2 - 1}$的积分。关键在于选择合适的变量替换，将复杂的根式转化为三角函数表达式，简化积分过程。

解题思路：

1. 三角替换法：当被积函数中出现$\sqrt{x^2 - a^2}$时，常用$x = a \sec t$替换，利用恒等式$\sec^2 t - 1 = \tan^2 t$简化根式。
2. 分情况讨论：由于$x > 1$和$x < -1$时，$\sqrt{x^2 - 1}$的表达式不同，需分别处理，并注意符号函数$sgn\,x$的影响。
3. 凑微分法：通过变量替换$u = 1/x$，将积分转化为标准形式$\int \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}}$，直接得到反三角函数结果。

解法1：三角替换法

当$x > 1$时

1. 变量替换：令$x = \sec t$（$0 < t < \frac{\pi}{2}$），则$dx = \sec t \tan t \, dt$。
2. 代入积分：
   $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}} = \int \frac{\sec t \tan t \, dt}{\sec t \cdot \tan t} = \int dt = t + C.$
3. 回代变量：$t = \text{arcsec}\,x = \arccos\left(\frac{1}{x}\right)$，故结果为$\arccos\left(\frac{1}{x}\right) + C$。

当$x < -1$时

1. 变量替换：令$x = \sec t$（$\frac{\pi}{2} < t < \pi$），此时$\sec t < 0$，$dx = \sec t \tan t \, dt$。
2. 代入积分：
   $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}} = \int \frac{\sec t \tan t \, dt}{\sec t \cdot (-\tan t)} = -\int dt = -t + C.$
3. 回代变量：$t = \text{arcsec}\,x = \pi - \arccos\left(\frac{1}{|x|}\right)$，化简得$- \arccos\left(\frac{1}{x}\right) + C$。

综合结果：$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}} = \text{sgn}\,x \cdot \arccos\left(\frac{1}{x}\right) + C$。

解法2：凑微分法

1. 变量替换：令$u = \frac{1}{x}$，则$du = -\frac{1}{x^2} dx$，原式变形为：
   $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}} = \text{sgn}\,x \int \frac{-du}{\sqrt{1 - u^2}} = \text{sgn}\,x \cdot \arcsin u + C.$
2. 回代变量：$u = \frac{1}{x}$，故结果为$\text{sgn}\,x \cdot \arcsin\left(\frac{1}{x}\right) + C$。利用$\arcsin\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} - \arccos\left(\frac{1}{x}\right)$，可转化为与解法1一致的形式。