题目

行列式1 -1 1 x-1-|||-1 -1 x+1 -1-|||-1 x-1 -1 0-|||-x+1 -1 0 0的值为1 -1 1 x-1-|||-1 -1 x+1 -1-|||-1 x-1 -1 0-|||-x+1 -1 0 0。1 -1 1 x-1-|||-1 -1 x+1 -1-|||-1 x-1 -1 0-|||-x+1 -1 0 01 -1 1 x-1-|||-1 -1 x+1 -1-|||-1 x-1 -1 0-|||-x+1 -1 0 01 -1 1 x-1-|||-1 -1 x+1 -1-|||-1 x-1 -1 0-|||-x+1 -1 0 01 -1 1 x-1-|||-1 -1 x+1 -1-|||-1 x-1 -1 0-|||-x+1 -1 0 0

行列式 $\begin{vmatrix} 1& -1& 1& x-1\\ 1 & -1 & x+1 & -1\\ 1 & x-1& -1 & 0\\ x+1 & -1 & 0 &0 \end{vmatrix}$ 的值为 $\left(\ \ \ \right)$ 。

$A.x^4+x^2+2x$

$B.x^4-x^2-2x$

$C.x^4-x^2$

$D.-x^4+x^2-2x$

题目解答

答案

由题意知，行列式 $\begin{vmatrix} 1& -1& 1& x-1\\ 1 & -1 & x+1 & -1\\ 1 & x-1& -1 & 0\\ x+1 & -1 & 0 &0 \end{vmatrix}$ ，运用行列式的运算性质，将第一列的 $1$ 倍加到第二列，得到 $\begin{vmatrix} 1& 0& 1& x-1\\ 1 & 0 & x+1 & -1\\ 1 & x& -1 & 0\\ x+1 & x & 0 &0 \end{vmatrix}$ ，然后将第四行的 $-1$ 倍加到第三行，得到 $\begin{vmatrix} 1& 0& 1& x-1\\ 1 & 0 & x+1 & -1\\ -x & 0& -1 & 0\\ x+1 & x & 0 &0 \end{vmatrix}$ ，按照第二列展开，得到 $x\begin{vmatrix} 1& 1& x-1\\ 1 & x+1 & -1\\ -x & -1 & 0\\ \end{vmatrix}$ ，第一行的 $-1$ 倍加到第二行，得到 $x\begin{vmatrix} 1& 1& x-1\\ 0& x & -x\\ -x & -1 & 0\\ \end{vmatrix}$ ，然后将第二列加到第三列，得到 $x\begin{vmatrix} 1& 1& x\\ 0& x & 0\\ -x & -1 & -1\\ \end{vmatrix}$ ，按照第二行展开，得到 $x^2\begin{vmatrix} 1& x\\ -x & -1\\ \end{vmatrix}$ ，结合二阶行列式的计算公式，得到 $x^2\left(-1+x^2\right)=x^4-x^2$ ，故正确答案选择 $C$ 。

解析

步骤 1：行列式的基本性质
行列式可以通过行或列的线性组合来简化，而不改变其值。这包括将一行或一列的倍数加到另一行或列上。

步骤 2：简化行列式
首先，将第一列的倍数加到第二列上，得到新的行列式。然后，将第四行的倍数加到第三行上，得到新的行列式。接下来，按照第二列展开行列式，得到新的行列式。再将第一行的倍数加到第二行上，得到新的行列式。最后，将第二列加到第三列上，得到新的行列式。

步骤 3：计算行列式的值
按照第二行展开行列式，得到二阶行列式。根据二阶行列式的计算公式，计算行列式的值。