题目

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-f(x,y)= ,{x)^2+(y)^2leqslant 1 0, .-|||-试验证X和Y是不相关的,但X和Y不是-|||-相互独立的.

$\begin {aligned} &设二维随机变量 (X, Y) 的概率密度为\\ &f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{\pi}, & x^2+y^2 \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}\\ &试验证 X 和 Y 是不相关的, 但 X 和 Y 不是\\&相互独立的. \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &为了验证 X 和 Y 是否是不相关的，我们\\&需要计算它们的协方差。协方差定义\\&为： \\ &\text{Cov}(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] \\ &首先计算 E[X] 和 E[Y]： \\ &E[X] =\\& \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x f(x, y) dx dy \\ &由于概率密度函数 f(x, y) 在圆内为非\\&零常数，我们可以将积分限定在圆内\\&： \\ &E[X] =\\& \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} x \left(\frac{1}{\pi}\right) dy dx \end {aligned}$ $\begin {aligned} &由于 x 只与 y 的范围有关，我们可以交\\&换积分顺序： \\ &E[X] = \int_{-\sqrt{1}}^{\sqrt{1}} \int_{-1}^{1} x \left(\frac{1}{\pi}\right) dx dy \\ &解这个积分得到： \\ &E[X] = \int_{-\sqrt{1}}^{\sqrt{1}} \left(\frac{x^2}{\pi}\right) \Bigg|_{-1}^{1} dy =\\& \int_{-\sqrt{1}}^{\sqrt{1}} \frac{2}{\pi} dy = \frac{2}{\pi} \int_{-\sqrt{1}}^{\sqrt{1}} dy = \frac{4}{\pi} \\ &同样地，计算 E[Y]： \\ &E[Y] =\\& \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} y f(x, y) dx dy \\ &限定积分范围： \\ &E[Y] =\\& \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} y \left(\frac{1}{\pi}\right) dy dx \end {aligned}$ $\begin {aligned} &交换积分顺序： \\ &E[Y] = \int_{-\sqrt{1}}^{\sqrt{1}} \int_{-1}^{1} y \left(\frac{1}{\pi}\right) dx dy \\ &解积分： \\ &E[Y] = \int_{-\sqrt{1}}^{\sqrt{1}} y \left(\frac{2}{\pi}\right) dy =\\& \left(\frac{y^2}{\pi}\right) \Bigg|_{-\sqrt{1}}^{\sqrt{1}} = 0 \\ &现在我们可以计算协方差 \text{Cov}(X, Y)： \\ &\text{Cov}(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] \\ &将 E[X] 和 E[Y] 的值代入： \\ &\text{Cov}(X, Y) = E[X \cdot Y] \\ &根据概率密度函数 f(x, y) 的定义，X 和\\& Y 只有在圆内才可能同时出现。因此\\&： \\ &\text{Cov}(X, Y) =\\& \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} x \cdot y \left(\frac{1}{\pi}\right) dy dx \end {aligned}$ $\begin {aligned} &交换积分顺序： \\ &\text{Cov}(X, Y) =\\& \int_{-\sqrt{1}}^{\sqrt{1}} \int_{-1}^{1} x \cdot y \left(\frac{1}{\pi}\right) dx dy \\ &解积分： \\ &\text{Cov}(X, Y) =\\& \int_{-\sqrt{1}}^{\sqrt{1}} \left(\frac{x^2 \cdot y}{\pi}\right) \Bigg|_{-1}^{1} dy = \int_{-\sqrt{1}}^{\sqrt{1}} \frac{2y}{\pi} dy \\&= \frac{4}{\pi} \int_{-\sqrt{1}}^{\sqrt{1}} y dy = 0 \\ &由于 \text{Cov}(X, Y) = 0，我们可以得出结论\\&：X 和 Y 是不相关的。 \\ &然而，为了验证 X 和 Y 是否是相互独立\\&的，我们需要检查联合概率密度函数\\&是否等于边际概率密度函数的乘积。\\&联合概率密度函数为 f(x, y)，边际概\\&率密度函数为 f_X(x) 和 f_Y(y)。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &边际概率密度函数 f_X(x)： \\ &f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) dy \\ &限定积分范围： \\ &f_X(x) = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \left(\frac{1}{\pi}\right) dy =\\& \left(\frac{y}{\pi}\right) \Bigg|_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi} \\ &边际概率密度函数 f_Y(y)： \\ &f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) dx \\ &限定积分范围： \\ &f_Y(y) = \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \left(\frac{1}{\pi}\right) dx =\\& \left(\frac{x}{\pi}\right) \Bigg|_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} = \frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi} \end {aligned}$ $\begin {aligned} &联合概率密度函数为 f(x, y)，将其与\\&边际概率密度函数相乘： \\ &f_X(x) \cdot f_Y(y) = \frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi} \cdot \frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi} =\\& \frac{4(1-x^2)(1-y^2)}{\pi^2} \\ &然而，我们可以看到 f(x, y) \neq f_X(x) \cdot\\& f_Y(y)，因此 X 和 Y 不是相互独立的。 \\ &综上所述，X 和 Y 是不相关的，但不是\\&相互独立的。 \end {aligned}$