题目
求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积: (1), , 绕y轴; (2), x=0, x=a, y=0, 绕x轴; (3), 绕x 轴. (4)摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱, y=0, 绕直线y=2a .
求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:
(1)
, 
, 绕y轴;
(2)
, x=0, x=a, y=0, 绕x轴;
(3)
, 绕x 轴.
(4)摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱, y=0, 绕直线y=2a .
题目解答
答案
解(1) 
.
(2) 
.
(3) 
.
(4) 
.
解析
步骤 1：确定旋转体的体积公式
旋转体的体积可以通过积分计算，对于绕y轴旋转的旋转体，体积公式为$V=\pi\int_{a}^{b} [f(y)]^2 dy$，其中$f(y)$是旋转曲线的函数表达式。
步骤 2：计算(1)的体积
对于${x}^{2}=4$和${c}^{2}=x$，绕y轴旋转的体积为$V=\pi\int_{0}^{1} ydy-\pi\int_{0}^{1} (y^2)^2 dy$。
步骤 3：计算(2)的体积
对于$y=ach\dfrac {x}{a}$，绕x轴旋转的体积为$V=\pi\int_{0}^{a} (ach\dfrac {x}{a})^2 dx$。
步骤 4：计算(3)的体积
对于${x}^{2}+{(y-5)}^{2}=16$，绕x轴旋转的体积为$V=\pi\int_{-4}^{4} [(5+\sqrt{16-x^2})^2-(5-\sqrt{16-x^2})^2] dx$。
步骤 5：计算(4)的体积
对于摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱，绕直线y=2a旋转的体积为$V=\pi\int_{0}^{2\pi} [(2a)^2-(2a-a(1-\cos t))^2] a(1-\cos t) dt$。
旋转体的体积可以通过积分计算，对于绕y轴旋转的旋转体，体积公式为$V=\pi\int_{a}^{b} [f(y)]^2 dy$，其中$f(y)$是旋转曲线的函数表达式。
步骤 2：计算(1)的体积
对于${x}^{2}=4$和${c}^{2}=x$，绕y轴旋转的体积为$V=\pi\int_{0}^{1} ydy-\pi\int_{0}^{1} (y^2)^2 dy$。
步骤 3：计算(2)的体积
对于$y=ach\dfrac {x}{a}$，绕x轴旋转的体积为$V=\pi\int_{0}^{a} (ach\dfrac {x}{a})^2 dx$。
步骤 4：计算(3)的体积
对于${x}^{2}+{(y-5)}^{2}=16$，绕x轴旋转的体积为$V=\pi\int_{-4}^{4} [(5+\sqrt{16-x^2})^2-(5-\sqrt{16-x^2})^2] dx$。
步骤 5：计算(4)的体积
对于摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱，绕直线y=2a旋转的体积为$V=\pi\int_{0}^{2\pi} [(2a)^2-(2a-a(1-\cos t))^2] a(1-\cos t) dt$。