题目

54.函数f(x)=(x-1)/(x^2)+5x-6的连续区间为____

54.函数$f(x)=\frac{x-1}{x^{2}+5x-6}$的连续区间为____

题目解答

答案

函数 $ f(x) = \frac{x-1}{x^2 + 5x - 6} $ 的分母可因式分解为 $ (x+6)(x-1) $。 当 $ x \neq 1 $ 时，函数化简为 $ f(x) = \frac{1}{x+6} $，在 $ x = -6 $ 处无定义。 此外，原函数在 $ x = 1 $ 处分子分母均为零，无定义。 因此，连续区间为 $ x \neq -6 $ 且 $ x \neq 1 $，即 \[ \boxed{(-\infty, -6) \cup (-6, 1) \cup (1, +\infty)} \]

解析

考查要点：本题主要考查分式函数的连续区间，需要确定函数的定义域并分析间断点。

解题核心思路：

  1. 分解分母：将分母因式分解，找到使分母为零的点，即函数的无定义点。
  2. 约分简化：若分子分母有公因式，需约分，但注意约分后的函数在原分母为零的点仍无定义。
  3. 确定连续区间：排除所有无定义点，将实数轴划分为连续区间。

破题关键点：

  • 分母因式分解：正确分解分母$x^2 + 5x - 6$为$(x+6)(x-1)$。
  • 识别无定义点：分母为零的$x=-6$和$x=1$，其中$x=1$是可去间断点，$x=-6$是无穷间断点。
  • 连续区间表示：用区间表示法排除无定义点。

  1. 分解分母
    分解分母$x^2 + 5x - 6$：
    $x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1).$
    因此，原函数可化简为：
    $f(x) = \frac{x-1}{(x+6)(x-1)}.$

  2. 约分简化
    当$x \neq 1$时，分子分母的$(x-1)$可以约去，得到：
    $f(x) = \frac{1}{x+6}.$
    但需注意：

    • $x=1$处无定义：原函数在$x=1$处分子分母均为零，属于可去间断点。
    • $x=-6$处无定义：分母为零，分子为$-7$，属于无穷间断点。

  3. 确定连续区间
    函数$f(x)$在定义域内（即$x \neq -6$且$x \neq 1$）连续。因此，连续区间为：
    $(-\infty, -6) \cup (-6, 1) \cup (1, +\infty).$