练习 (2013,2,(1)/(3))设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C且B可逆，则 (A)矩阵C的行向量与矩阵A.的行向量等价. (B.)矩阵C的列向量与矩阵A的列向量等价. (C)矩阵C.的行向量与矩阵B的行向量等价. (D.)矩阵C的列向量与矩阵B的列向量等价.

考查要点：本题主要考查矩阵乘法的列向量组合性质、矩阵可逆性与向量组等价的关系。

解题核心思路：

1. 矩阵乘法的列组合视角：矩阵乘积$AB$的列向量由$A$的列向量通过$B$的列向量线性组合得到。
2. 可逆矩阵的性质：$B$可逆意味着其列向量线性无关，从而保证$A$与$C$的列向量可相互线性表示。
3. 向量组等价的判定：若两向量组可相互线性表示，则它们等价。

破题关键点：

• 通过$AB=C$和$B$可逆，推导出$A=CB^{-1}$，建立$A$与$C$的列向量之间的双向线性组合关系。
• 排除行向量相关选项（题目未涉及行向量等价的直接结论）。

列向量关系分析

1. 矩阵乘法的列组合性质：
   $AB=C$中，$C$的第$j$列是$A$与$B$的第$j$列的线性组合，即：
   $C[:,j] = A \cdot B[:,j].$
   因此，$C$的列向量属于$A$的列空间。

2. 可逆矩阵的作用：
   $B$可逆说明其列向量线性无关，且存在逆矩阵$B^{-1}$。由$AB=C$可得：
   $A = CB^{-1}.$
   此时，$A$的第$j$列可表示为$C$的第$j$列与$B^{-1}$的列的组合：
   $A[:,j] = C \cdot B^{-1}[:,j].$
   因此，$A$的列向量也属于$C$的列空间。

3. 等价性结论：
   $C$的列向量可由$A$的列向量线性表示，且$A$的列向量也可由$C$的列向量线性表示，故二者列向量等价。

行向量相关选项的排除

• 行向量关系：考虑转置形式$C^T = B^T A^T$，同理可得$C$的行向量与$A$的行向量等价，但题目未提供此选项。
• 选项D的错误：若$A$为零矩阵，则$C=0$，此时$C$的列向量为零向量，无法与$B$的列向量（线性无关）等价。