题目
设f(z)在定义在区域D上,下列说法错误的是A 如果f(z)及(元)f都在D上解析，则f(z)为常数B 如果f(z)及Im(f(z))都在D上解析，则f(z)为常数C 如果f(z)及(元)f都在D上解析，则f(z)为常数
设f(z)在定义在区域D上,下列说法错误的是
A 如果f(z)及
都在D上解析，则f(z)为常数
B 如果f(z)及Im(f(z))都在D上解析，则f(z)为常数
C 如果f(z)及
都在D上解析，则f(z)为常数
题目解答
答案
如果f(z)是解析的，那么它满足柯西-黎曼方程。如果也是解析的，那么它的实部和虚部必须满足柯西-黎曼方程，这意味着f(z)的实部和虚部都是常数，因此f(z)是常数。A正确
如果f(z)是解析的，那么它的实部和虚部都是调和函数。如果f(z)的虚部也是解析的，那么它也必须满足柯西-黎曼方程。这意味着f(z)的实部和虚部都是常数，因此f(z)是常数。B正确
考虑函数f(z)=z，它和它的共轭复数函数都是解析的，但f(z)并不是常数。C错误，选C
解析
步骤 1：解析函数的性质
解析函数满足柯西-黎曼方程，即如果f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析的，那么u和v满足柯西-黎曼方程：∂u/∂x = ∂v/∂y 和 ∂u/∂y = -∂v/∂x。
步骤 2：分析选项A
如果f(z)及$(元)f$都在D上解析，那么$(元)f$的实部和虚部也必须满足柯西-黎曼方程。这意味着f(z)的实部和虚部都是常数，因此f(z)是常数。A正确。
步骤 3：分析选项B
如果f(z)及Im(f(z))都在D上解析，那么f(z)的实部和虚部都是调和函数。如果f(z)的虚部也是解析的，那么它也必须满足柯西-黎曼方程。这意味着f(z)的实部和虚部都是常数，因此f(z)是常数。B正确。
步骤 4：分析选项C
考虑函数f(z)=z，它和它的共轭复数函数都是解析的，但f(z)并不是常数。C错误，选C。
解析函数满足柯西-黎曼方程，即如果f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析的，那么u和v满足柯西-黎曼方程：∂u/∂x = ∂v/∂y 和 ∂u/∂y = -∂v/∂x。
步骤 2：分析选项A
如果f(z)及$(元)f$都在D上解析，那么$(元)f$的实部和虚部也必须满足柯西-黎曼方程。这意味着f(z)的实部和虚部都是常数，因此f(z)是常数。A正确。
步骤 3：分析选项B
如果f(z)及Im(f(z))都在D上解析，那么f(z)的实部和虚部都是调和函数。如果f(z)的虚部也是解析的，那么它也必须满足柯西-黎曼方程。这意味着f(z)的实部和虚部都是常数，因此f(z)是常数。B正确。
步骤 4：分析选项C
考虑函数f(z)=z，它和它的共轭复数函数都是解析的，但f(z)并不是常数。C错误，选C。