题目

例4 设函数f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：存在两个不同的点xi_(1)、xi_(2)in(0,1)，使得(1)/(f'(xi_(1)))+(1)/(f'(xi_(2)))=2.

例4 设函数f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：存在两个不同的点$\xi_{1}$、$\xi_{2}\in(0,1)$，使得$\frac{1}{f'(\xi_{1})}+\frac{1}{f'(\xi_{2})}=2$.

题目解答

答案

由题意，函数 $ f(x) $ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $ f(0) = 0 $，$ f(1) = 1 $。根据介值定理，存在 $ c \in (0,1) $，使得 $ f(c) = \frac{1}{2} $。
在区间 $[0,c]$ 和 $[c,1]$ 上分别应用拉格朗日中值定理：

  1. 存在 $ \xi_1 \in (0,c) $，满足 $ f'(\xi_1) = \frac{f(c) - f(0)}{c} = \frac{1}{2c} $，故 $ \frac{1}{f'(\xi_1)} = 2c $；
  2. 存在 $ \xi_2 \in (c,1) $，满足 $ f'(\xi_2) = \frac{f(1) - f(c)}{1 - c} = \frac{1}{2(1 - c)} $，故 $ \frac{1}{f'(\xi_2)} = 2(1 - c) $。
    将两式相加得：
    $\frac{1}{f'(\xi_1)} + \frac{1}{f'(\xi_2)} = 2c + 2(1 - c) = 2$
    由于 $ \xi_1 \neq \xi_2 $，结论成立。

答案： 存在两个不同的点 $ \xi_1, \xi_2 \in (0,1) $，使得 $ \frac{1}{f'(\xi_1)} + \frac{1}{f'(\xi_2)} = 2 $。

解析

本题考查函数知识点为函数的可导性、介值定理以及拉格朗日中值定理。解题思路如下：

  1. 首先根据函数$f(x)$在$[0,1]$上可导，且$f(0)=0$，\f(1)=1)，利用介值定理找到一个$c\in(0,1)$ )，使得$f(c)=\frac{1}{2}$。
  2. 然后在区间$[0,c]$和$[c,1]$上分别应用拉格朗日中值定理。
  3. 对于区间$[0,c]$，根据拉格朗日中值定理公式为$f'(\xi_1)=\frac{f(c) - f(0)}{c}$，将$\xi_1\in(0,c)$。
  4. 对于区间$[c,1]$，拉格朗日中值定理公式为$f'(\xi_2)=\frac{f(1) - f(c)}{1 - c}$，$\xi_2\in(c,1)$。
  5. 最后将$\frac{1}{f'(\xi_1)}$与$\frac{1{f'(\xi_2)}$相加，验证是否等于$2$。

下面进行详细计算：

  1. 由介值定理，因为$f(0)=0$，$f(1)=1$，所以存在$c\in(0,1)$，使得$f(c)=\frac{1}{2}$。
  2. 在区间$[0,c]$上应用拉格朗日中值定理：
    已知$f(0)=0$，$f(c)=\frac{1}{2}$，根据拉格朗日中值定理$f'(\xi_1)=\frac{f(c) - f(0)}{c}$，$\xi_1\in(0,c)$，将$f(0)=0$，$f(c)=\frac{1}{2}$代入可得$f'(\xi_1)=\frac{\frac{1}{2}-0}{c}=\frac{1}{2c}$。
    那么$\frac{1}{f'(\xi_1)} = 2c$。
  3. 在区间$[c,1]$上拉格朗日中值定理：
    已知$f(c)=\frac{1}{2}$ )，$f(1)=1$，根据拉格朗日中值定理$f'(\xi_2)=\frac{f(1) - f(c)}}{{1 - c}}$，$\xi_2\in(c,1)$，将$f(c)=\frac{1}{2}$，$f(1)=1$代入可得$f'(\xi_2)=\frac{1{2(1 - c)}$。
    那么$\frac{1}{f'(\xi_2)} = 2(1 - c)$。
  4. 将两式相加：
    $\frac{1}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)}=2c + 2(1 - c)$
    展开式子$2c + 2(1 - c)=2c+2 - 2c = 2$。
    因为$\xi_1\in(0,c)$，$\xi_2\in(c,1)$，所以$\xi_1\neq\xi_2$。

本题结论成立。