题目

若某向量组_(1),(x)_(2),... ,(a)_(n)的秩为_(1),(x)_(2),... ,(a)_(n), _(1),(x)_(2),... ,(a)_(n) ，则下述结论错误的是（ ) .A. 该向量组与其含_(1),(x)_(2),... ,(a)_(n) 个向量的部分向量组等价;B. 该向量组与其含_(1),(x)_(2),... ,(a)_(n) 个向量的线性无关的部分向量组等价;C. 如果该向量组存在两个含_(1),(x)_(2),... ,(a)_(n)个向量的线性无关的部分向量组，则这两个线性无关的向量组必等价;D. 该向量组中必存在一个含_(1),(x)_(2),... ,(a)_(n)个向量的线性无关的部分向量组;

若某向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$ 的秩为 $r$ , $0<r<m$ ，则下述结论错误的是（ ) .

A. 该向量组与其含 $r$ 个向量的部分向量组等价;

B. 该向量组与其含 $r$ 个向量的线性无关的部分向量组等价;

C. 如果该向量组存在两个含 $r$ 个向量的线性无关的部分向量组，则这两个线性无关的向量组必等价;

D. 该向量组中必存在一个含 $r$ 个向量的线性无关的部分向量组;

题目解答

答案

A. 对于选项A，若向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$ 的秩为 $r$ ，则存在 $r$ 个线性无关的向量 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_r}$ （其中 $i_1,i_2,\ldots,i_r$ 是 $1,2,\ldots,m$ 的一个排列）。但这并不意味着整个向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$ 与其含 $r$ 个向量的任意部分向量组都等价。因为可能存在其他 $r$ 个向量组成的部分向量组是线性相关的。所以A选项是错误的。

B. 对于选项B，由于向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$ 的秩为 $r$ ，根据秩的定义，必存在一个含 $r$ 个向量的线性无关的部分向量组。这个部分向量组与整个向量组是等价的，因为整个向量组可以由这个部分向量组线性表示，并且这个部分向量组也可以由整个向量组线性表示。所以B选项是正确的。

C. 对于选项C，如果向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$ 存在两个含 $r$ 个向量的线性无关的部分向量组，那么这两个部分向量组都可以表示整个向量组，并且它们自身都是线性无关的。因此，这两个部分向量组是等价的。所以C选项是正确的。

D. 对于选项D，根据向量组秩的定义，向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$ 的秩为 $r$ 意味着必存在一个含 $r$ 个向量的线性无关的部分向量组。所以D选项是正确的。

综上，错误的选项是A。

解析

步骤 1：理解向量组的秩
向量组的秩是指该向量组中最大线性无关组的向量个数。如果向量组的秩为 $d$，则意味着存在 $d$ 个线性无关的向量，而其他向量都可以由这 $d$ 个向量线性表示。

步骤 2：分析选项A
选项A说该向量组与其含 $d$ 个向量的部分向量组等价。这并不一定正确，因为虽然存在 $d$ 个线性无关的向量，但并不是所有含 $d$ 个向量的部分向量组都是线性无关的。因此，该向量组与其含 $d$ 个向量的部分向量组不一定等价。

步骤 3：分析选项B
选项B说该向量组与其含 $d$ 个向量的线性无关的部分向量组等价。这是正确的，因为向量组的秩为 $d$，意味着存在 $d$ 个线性无关的向量，而这些向量可以表示整个向量组，因此它们是等价的。

步骤 4：分析选项C
选项C说如果该向量组存在两个含 $d$ 个向量的线性无关的部分向量组，则这两个线性无关的向量组必等价。这是正确的，因为两个线性无关的向量组都可以表示整个向量组，因此它们是等价的。

步骤 5：分析选项D
选项D说该向量组中必存在一个含 $d$ 个向量的线性无关的部分向量组。这是正确的，因为向量组的秩为 $d$，意味着存在 $d$ 个线性无关的向量。