题目
已知函数f（x）=（1-ax）ln（1+x）-x.（1）当a=-2时，求f（x）的极值；（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．
已知函数f（x）=（1-ax）ln（1+x）-x.
（1）当a=-2时，求f（x）的极值；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．
（1）当a=-2时，求f（x）的极值；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．
题目解答
答案
解：（1）当a=-2 时，f（x）=（1+2x）ln（1+x）-x,x＞-1，
f′（x）=2ln（1+x）+$\frac{x}{1+x}$，
当-1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
故f（x）的极小值为 f（0）=0，无极大值；
（2）由f（x）=（1-ax）ln（1+x）-x,得f′（x）=-aln（1+x）-$\frac{（a+1）x}{1+x}$，x＞-1，
令g（x）=f′（x），则g′（x）=-$\frac{a}{1+x}$-$\frac{a+1}{（1+x）^2}$，
当x≥0时，f（x）≥0，且f（0）=0，f′（0）=0，
所以g′（0）=-1-2a≥0，$a≤-\frac{1}{2}$，
当$a≤-\frac{1}{2}$时，g′（x）≥$\frac{1}{2（1+x）}-\frac{1}{2（1+x）^{2}}$=$\frac{x}{2（1+x）^{2}}$≥0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）=f′（x）≥g（0）=0，
故f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）=0恒成立，
即a的取值范围为$（-∞，-\frac{1}{2}]$．
f′（x）=2ln（1+x）+$\frac{x}{1+x}$，
当-1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
故f（x）的极小值为 f（0）=0，无极大值；
（2）由f（x）=（1-ax）ln（1+x）-x,得f′（x）=-aln（1+x）-$\frac{（a+1）x}{1+x}$，x＞-1，
令g（x）=f′（x），则g′（x）=-$\frac{a}{1+x}$-$\frac{a+1}{（1+x）^2}$，
当x≥0时，f（x）≥0，且f（0）=0，f′（0）=0，
所以g′（0）=-1-2a≥0，$a≤-\frac{1}{2}$，
当$a≤-\frac{1}{2}$时，g′（x）≥$\frac{1}{2（1+x）}-\frac{1}{2（1+x）^{2}}$=$\frac{x}{2（1+x）^{2}}$≥0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）=f′（x）≥g（0）=0，
故f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）=0恒成立，
即a的取值范围为$（-∞，-\frac{1}{2}]$．
解析
步骤 1：求导数
当a=-2时，函数f（x）=（1+2x）ln（1+x）-x，求导得f′（x）=2ln（1+x）+$\frac{x}{1+x}$。
步骤 2：确定单调性
当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增。
步骤 3：求极值
根据步骤2的单调性，f（x）在x=0处取得极小值，f（0）=0，无极大值。
步骤 4：求导数
当x≥0时，f（x）=（1-ax）ln（1+x）-x，求导得f′（x）=-aln（1+x）-$\frac{（a+1）x}{1+x}$。
步骤 5：求二阶导数
令g（x）=f′（x），则g′（x）=-$\frac{a}{1+x}$-$\frac{a+1}{（1+x）^2}$。
步骤 6：确定a的取值范围
当x≥0时，f（x）≥0，且f（0）=0，f′（0）=0，所以g′（0）=-1-2a≥0，$a≤-\frac{1}{2}$。
步骤 7：验证a的取值范围
当$a≤-\frac{1}{2}$时，g′（x）≥$\frac{1}{2（1+x）}-\frac{1}{2（1+x）^{2}}$=$\frac{x}{2（1+x）^{2}}$≥0，所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）=f′（x）≥g（0）=0，故f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）=0恒成立。
当a=-2时，函数f（x）=（1+2x）ln（1+x）-x，求导得f′（x）=2ln（1+x）+$\frac{x}{1+x}$。
步骤 2：确定单调性
当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增。
步骤 3：求极值
根据步骤2的单调性，f（x）在x=0处取得极小值，f（0）=0，无极大值。
步骤 4：求导数
当x≥0时，f（x）=（1-ax）ln（1+x）-x，求导得f′（x）=-aln（1+x）-$\frac{（a+1）x}{1+x}$。
步骤 5：求二阶导数
令g（x）=f′（x），则g′（x）=-$\frac{a}{1+x}$-$\frac{a+1}{（1+x）^2}$。
步骤 6：确定a的取值范围
当x≥0时，f（x）≥0，且f（0）=0，f′（0）=0，所以g′（0）=-1-2a≥0，$a≤-\frac{1}{2}$。
步骤 7：验证a的取值范围
当$a≤-\frac{1}{2}$时，g′（x）≥$\frac{1}{2（1+x）}-\frac{1}{2（1+x）^{2}}$=$\frac{x}{2（1+x）^{2}}$≥0，所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）=f′（x）≥g（0）=0，故f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）=0恒成立。