题目
例3 计算二重积分 iintlimits_(D)xydsigma，其中D是由直线y=1，x=2，y=x所围成的闭区域.
例3 计算二重积分$ \iint\limits_{D}xyd\sigma$，其中D是由直线y=1，x=2，y=x所围成的闭区域.
题目解答
答案
区域 $D$ 由直线 $y=1$，$x=2$，$y=x$ 围成，顶点为 $(1,1)$，$(2,1)$，$(2,2)$。
**方法1：先对 $y$ 积分**
\[
\int_{1}^{2} \int_{1}^{x} xy \, dy \, dx = \int_{1}^{2} x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{x} \, dx = \int_{1}^{2} \left( \frac{x^3}{2} - \frac{x}{2} \right) \, dx = \frac{9}{8}
\]
**方法2：先对 $x$ 积分**
\[
\int_{1}^{2} \int_{y}^{2} xy \, dx \, dy = \int_{1}^{2} y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{y}^{2} \, dy = \int_{1}^{2} \left( 2y - \frac{y^3}{2} \right) \, dy = \frac{9}{8}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{9}{8}}$
解析
步骤 1：确定积分区域
区域 $D$ 由直线 $y=1$，$x=2$，$y=x$ 围成，顶点为 $(1,1)$，$(2,1)$，$(2,2)$。因此，$D$ 可以描述为 $1 \leq y \leq x \leq 2$。
步骤 2：计算二重积分
**方法1：先对 $y$ 积分**
\[ \int_{1}^{2} \int_{1}^{x} xy \, dy \, dx = \int_{1}^{2} x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{x} \, dx = \int_{1}^{2} \left( \frac{x^3}{2} - \frac{x}{2} \right) \, dx = \frac{9}{8} \]
**方法2：先对 $x$ 积分**
\[ \int_{1}^{2} \int_{y}^{2} xy \, dx \, dy = \int_{1}^{2} y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{y}^{2} \, dy = \int_{1}^{2} \left( 2y - \frac{y^3}{2} \right) \, dy = \frac{9}{8} \]
区域 $D$ 由直线 $y=1$，$x=2$，$y=x$ 围成，顶点为 $(1,1)$，$(2,1)$，$(2,2)$。因此，$D$ 可以描述为 $1 \leq y \leq x \leq 2$。
步骤 2：计算二重积分
**方法1：先对 $y$ 积分**
\[ \int_{1}^{2} \int_{1}^{x} xy \, dy \, dx = \int_{1}^{2} x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{x} \, dx = \int_{1}^{2} \left( \frac{x^3}{2} - \frac{x}{2} \right) \, dx = \frac{9}{8} \]
**方法2：先对 $x$ 积分**
\[ \int_{1}^{2} \int_{y}^{2} xy \, dx \, dy = \int_{1}^{2} y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{y}^{2} \, dy = \int_{1}^{2} \left( 2y - \frac{y^3}{2} \right) \, dy = \frac{9}{8} \]