单选题（共8题，50.0分）2.（6.3分）设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，则最多1件次品的概率为（）。A. 8/21B. 13/21C. 2/3D. 1/2

本题考查古典概型概率的计算。解题思路是先确定从$10$件产品中任取$3$件的所有可能情况数，再分别计算取出的$3$件产品中没有次品和有$1$件次品的情况数，最后根据古典概型概率公式计算最多$1$件次品的概率。

步骤一：计算从$10$件产品中任取$3$件的所有可能情况数

从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$C_{n}^m$，其计算公式为$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}$。
从$10$件产品中任取$3$件，即$n = 10$，$m = 3$，那么所有可能的取法有$C_{10}^3$种。
根据组合数公式可得：
$\begin{align*}C_{10}^3&=\frac{10!}{3!(10 - 3)!}\\&=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}\\& = 120\end{align*}$

步骤二：计算取出的$3$件产品中没有次品的情况数

没有次品即取出的$3$件产品都从$6$件正品中选取，此时$n = 6$，$m = 3$，那么取法有$C_{6}^3$种。
根据组合数公式可得：
$\begin{align*}C_{6}^3&=\frac{6!}{3!(6 - 3)!}\\&=\frac{6\times5\times4}{3\times2\times1}\\& = 20\end{align*}$

步骤三：计算取出的$3$件产品中有$1$件次品的情况数

有$1$件次品即从$4$件次品中选$1$件，从$6$件正品中选$2$件。
根据分步乘法计数原理：完成一件事需要$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1\times m_2\times\cdots\times m_n$种不同的方法。
从$4$件次品中选$1$件的方法数为$C_{4}^1$，从$6$件正品中选$2$件的方法数为$C_{6}^2$，则有$1$件次品的取法有$C_{4}^1\times C_{6}^2$种。
分别计算$C_{4}^1$和$C_{6}^2$：

• $C_{4}^1=\frac{4!}{1!(4 - 1)!}=\frac{4}{1}= 4$
• $C_{6}^2=\frac{6!}{2!(6 - 2)!}=\frac{6\times5}{2\times1}= 15$
  所以$C_{4}^1\times C_{6}^2 = 4\times15 = 60$（种）

步骤四：计算最多$1$件次品的概率

最多$1$件次品包含没有次品和有$1$件次品这两种情况，根据分类加法计数原理：完成一件事，有$n$类办法，在第$1$类办法中有$m_1$种不同的方法，在第$2$类办法中有$m_2$种不同的方法……在第$n$类办法中有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n$种不同的方法。
所以最多$1$件次品的情况数为$C_{6}^3 + C_{4}^1\times C_{6}^2 = 20 + 60 = 80$（种）
古典概型概率公式为$P(A)=\frac{事件A包含的基本事件数}{试验的基本事件总数}$，设“最多$1$件次品”为事件$A$，则$P(A)=\frac{80}{120}=\frac{2}{3}$。