题目

[题目]求极限 lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-x)({x)^2((e)^x-1)}

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理0/0型不定式极限的技巧，如泰勒展开或洛必达法则的应用。

解题核心思路：
当直接代入$x=0$时，分子和分母均趋近于0，属于0/0型不定式。此时可选择泰勒展开将分子和分母展开到足够高的阶数，或通过洛必达法则多次求导，消去低阶无穷小的影响，从而求得极限值。

破题关键点：

  1. 泰勒展开法：将$\tan x$和$e^x$展开到$x^3$阶，简化分子和分母的表达式，通过比较最高次项的系数求解。
  2. 洛必达法则：需多次对分子和分母求导，直到分式不再呈现0/0型，但需注意计算过程中的导数准确性。

方法一：泰勒展开法

  1. 展开分子$\tan x - x$
    $\tan x$的泰勒展开式为：
    $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots$
    因此，
    $\tan x - x = \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots$

  2. 展开分母$x^2(e^x - 1)$
    $e^x$的泰勒展开式为：
    $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$
    因此，
    $e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$
    代入分母得：
    $x^2(e^x - 1) = x^3 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{6} + \cdots$

  3. 化简分式
    将分子和分母的主部（最高次项）代入分式：
    $\frac{\tan x - x}{x^2(e^x - 1)} = \frac{\frac{x^3}{3} + \cdots}{x^3 + \cdots} = \frac{\frac{1}{3}}{1} = \frac{1}{3}$

方法二：洛必达法则

  1. 第一次应用洛必达法则
    分子导数：$\frac{d}{dx}(\tan x - x) = \sec^2 x - 1 = \tan^2 x$
    分母导数：$\frac{d}{dx}[x^2(e^x - 1)] = 2x(e^x - 1) + x^2 e^x$
    分式变为：
    $\frac{\tan^2 x}{2x(e^x - 1) + x^2 e^x}$

  2. 第二次应用洛必达法则
    分子导数：$\frac{d}{dx}(\tan^2 x) = 2 \tan x \sec^2 x$
    分母导数：$\frac{d}{dx}[2x(e^x - 1) + x^2 e^x] = 2(e^x - 1) + 4x e^x + x^2 e^x$
    分式变为：
    $\frac{2 \tan x \sec^2 x}{2(e^x - 1) + 4x e^x + x^2 e^x}$

  3. 第三次应用洛必达法则
    分子导数：$\frac{d}{dx}[2 \tan x \sec^2 x] = 2 \sec^4 x + 4 \sec^2 x \tan^2 x$
    分母导数：$\frac{d}{dx}[2(e^x - 1) + 4x e^x + x^2 e^x] = 6 e^x + 6x e^x + x^2 e^x$
    代入$x=0$得：
    $\frac{2 \cdot 1 + 4 \cdot 0}{6 \cdot 1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$