题目
1.求下列极限.-|||-(4) lim _(xarrow +infty )dfrac (ln (1+dfrac {1)(x))}(dfrac {pi )(2)-arctan x}-|||-__
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定极限形式
首先，我们观察给定的极限形式 $\lim _{x\rightarrow -\dfrac {\ln (1+\dfrac {1}{x})}{\arctan x}}$。注意到当 $x$ 趋向于 $-\dfrac{1}{x}$ 时，分子 $\ln (1+\dfrac {1}{x})$ 和分母 $\arctan x$ 都趋向于 $0$，因此这是一个 $\frac{0}{0}$ 型的极限，可以使用洛必达法则来求解。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则指出，如果 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的极限，且 $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在，则 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$。因此，我们对分子和分母分别求导。
分子的导数为：$\frac{d}{dx} \ln (1+\dfrac {1}{x}) = \frac{1}{1+\dfrac{1}{x}} \cdot \frac{d}{dx} (1+\dfrac{1}{x}) = \frac{1}{1+\dfrac{1}{x}} \cdot (-\dfrac{1}{x^2}) = -\dfrac{1}{x^2+x}$。
分母的导数为：$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$。
步骤 3：计算新的极限
将分子和分母的导数代入，得到新的极限形式：$\lim _{x\rightarrow -\dfrac {-\dfrac{1}{x^2+x}}{\dfrac{1}{1+x^2}}} = \lim _{x\rightarrow -\dfrac {-(1+x^2)}{x^2+x}}$。简化得到 $\lim _{x\rightarrow -\dfrac {-(1+x^2)}{x(x+1)}}$。当 $x$ 趋向于无穷大时，$x(x+1)$ 趋向于无穷大，而 $1+x^2$ 趋向于无穷大，因此极限值为 $1$。
首先，我们观察给定的极限形式 $\lim _{x\rightarrow -\dfrac {\ln (1+\dfrac {1}{x})}{\arctan x}}$。注意到当 $x$ 趋向于 $-\dfrac{1}{x}$ 时，分子 $\ln (1+\dfrac {1}{x})$ 和分母 $\arctan x$ 都趋向于 $0$，因此这是一个 $\frac{0}{0}$ 型的极限，可以使用洛必达法则来求解。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则指出，如果 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的极限，且 $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在，则 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$。因此，我们对分子和分母分别求导。
分子的导数为：$\frac{d}{dx} \ln (1+\dfrac {1}{x}) = \frac{1}{1+\dfrac{1}{x}} \cdot \frac{d}{dx} (1+\dfrac{1}{x}) = \frac{1}{1+\dfrac{1}{x}} \cdot (-\dfrac{1}{x^2}) = -\dfrac{1}{x^2+x}$。
分母的导数为：$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$。
步骤 3：计算新的极限
将分子和分母的导数代入，得到新的极限形式：$\lim _{x\rightarrow -\dfrac {-\dfrac{1}{x^2+x}}{\dfrac{1}{1+x^2}}} = \lim _{x\rightarrow -\dfrac {-(1+x^2)}{x^2+x}}$。简化得到 $\lim _{x\rightarrow -\dfrac {-(1+x^2)}{x(x+1)}}$。当 $x$ 趋向于无穷大时，$x(x+1)$ 趋向于无穷大，而 $1+x^2$ 趋向于无穷大，因此极限值为 $1$。