题目
15.（判断题，5.0分）四元线性非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3，eta_(1),eta_(2),eta_(3)是它的三个解向量，且eta_(1)=}2345,k为任意实数A 对
15.（判断题，5.0分）
四元线性非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3，$\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3}$是它的三个解向量，
且$\eta_{1}=\begin{pmatrix}2\\3\\4\\5\end{pmatrix},\eta_{2}+2\eta_{3}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix},$则方程组的通解可表示为$x=\begin{pmatrix}2\\3\\4\\5\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}5\\7\\9\\11\end{pmatrix},k为任意实数$
A 对
题目解答
答案
已知四元线性非齐次方程组的系数矩阵秩为3，导出组的解空间维数为1。设 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 为解向量，其中 $\eta_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$，且 $\eta_2 + 2\eta_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$。
导出组的基础解系可由 $\eta_2 - \eta_1$ 或 $\eta_3 - \eta_1$ 的线性组合得到。利用 $\eta_2 + 2\eta_3 - 3\eta_1 = \begin{pmatrix} -5 \\ -7 \\ -9 \\ -11 \end{pmatrix}$，得导出组解向量 $\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \\ 11 \end{pmatrix}$。
通解形式为 $\eta_1 + k \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \\ 11 \end{pmatrix}$，与题目一致。
答案：$\boxed{A}$