题目
16.（5.0分）设矩阵A=(}1&22&3)，则其特征值之和为_____.
16.（5.0分）
设矩阵$A=\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)$，则其特征值之和为_____.
题目解答
答案
为了找到矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} $ 的特征值之和，我们可以利用一个性质，即矩阵的特征值之和等于矩阵的迹。矩阵的迹是矩阵对角元素的和。
矩阵 $ A $ 的对角元素是 1 和 3。因此，矩阵 $ A $ 的迹为：
\[
1 + 3 = 4
\]
因此，矩阵 $ A $ 的特征值之和为 $\boxed{4}$。
为了验证，我们可以找到矩阵 $ A $ 的特征值。特征值是特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ 的解，其中 $ I $ 是单位矩阵，$\lambda$ 是特征值。
矩阵 $ A - \lambda I $ 为：
\[
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix}
\]
$ A - \lambda I $ 的行列式为：
\[
\det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(3 - \lambda) - (2)(2) = \lambda^2 - 4\lambda - 1
\]
将行列式设为零得到特征方程：
\[
\lambda^2 - 4\lambda - 1 = 0
\]
二次方程 $\lambda^2 - 4\lambda - 1 = 0$ 的解由二次公式 $\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 给出，其中 $a = 1$，$b = -4$，和 $c = -1$。代入这些值，我们得到：
\[
\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}
\]
特征值为 $2 + \sqrt{5}$ 和 $2 - \sqrt{5}$。将这些特征值相加，我们得到：
\[
(2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) = 4
\]
因此，矩阵 $ A $ 的特征值之和为 $\boxed{4}$。
解析
考查要点：本题主要考查矩阵特征值的基本性质，特别是特征值之和与矩阵迹的关系。
解题核心思路：
矩阵的迹（对角线元素之和）等于其所有特征值的和。因此，无需计算具体特征值，直接求迹即可快速得出答案。
破题关键点：
- 明确矩阵的迹定义：主对角线元素之和。
- 理解特征值之和与迹之间的等价关系。
方法一：利用矩阵的迹
矩阵的迹（Trace）是主对角线元素的和。对于矩阵
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix},$
其迹为：
$\text{Tr}(A) = 1 + 3 = 4.$
根据性质，特征值之和等于迹，因此答案为 $4$。
方法二：验证特征值
-
构造特征方程：
特征方程为 $\det(A - \lambda I) = 0$，其中
$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix}.$
计算行列式：
$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(3-\lambda) - 4 = \lambda^2 - 4\lambda - 1.$ -
求解特征值：
解方程 $\lambda^2 - 4\lambda - 1 = 0$，得：
$\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}.$ -
求和验证：
两个特征值之和为：
$(2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) = 4.$