题目
反函数的导数等于直接函数导数的
反函数的导数等于直接函数导数的
题目解答
答案
设 y=f(x) 为可导函数,则其反函数为
由导数的定义,有:
将 (1) 中的 x 替换为 
,得:
由 (2)(3) 式可得:
即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
解析
反函数的导数等于直接函数导数的倒数。这是因为，如果 $y=f(x)$ 是一个可导函数，那么它的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 也应该是可导的。根据导数的定义，$y=f(x)$ 的导数是 $\dfrac{dy}{dx}=f'(x)$，而反函数 $x=f^{-1}(y)$ 的导数是 $\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}$。因此，反函数的导数等于直接函数导数的倒数。