例2求由直线 _(1):dfrac (x-1)(1)=dfrac (y-1)(3)=dfrac (z-1)(1) 和直线L2: ) x=1+t y=1+2t z=1+3t . 所确定的平面方程.-|||-答案: 7x-2y-z-4=0

考查要点：本题主要考查如何利用两条直线确定平面方程的能力，涉及直线的方向向量、平面法向量的求法以及点法式平面方程的应用。

解题核心思路：

1. 确定两条直线的方向向量：分别从直线方程中提取方向向量。
2. 计算平面法向量：通过两方向向量的叉乘得到法向量。
3. 代入点法式方程：选择任意一条直线上的一点代入方程，最终得到平面方程。

破题关键点：

• 正确提取方向向量：注意直线方程的不同形式（对称式、参数式）对应的方向向量提取方式。
• 叉乘计算的准确性：确保叉乘运算无误，得到正确的法向量。
• 点的选择：两条直线上的任意一点均可，建议选择参数为0时的点，计算简便。

步骤1：确定两条直线的方向向量

• 直线L1的对称式方程为 $\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-1}{3} = \dfrac{z-1}{1}$，其方向向量为 $\vec{u} = (1, 3, 1)$。
• 直线L2的参数方程为 $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 1 + 3t \end{cases}$，其方向向量为 $\vec{v} = (1, 2, 3)$。

步骤2：计算平面法向量

平面法向量 $\vec{n}$ 由 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 的叉乘得到：
$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\1 & 3 & 1 \\1 & 2 & 3\end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 3 - 1 \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 3 \cdot 1) = 7\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - \mathbf{k}$
即 $\vec{n} = (7, -2, -1)$。

步骤3：代入点法式方程

选择直线L1上的点 $(1, 1, 1)$（或直线L2上的同一点），代入点法式方程：
$7(x - 1) - 2(y - 1) - 1(z - 1) = 0$
展开并整理：
$7x - 7 - 2y + 2 - z + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 7x - 2y - z - 4 = 0$