题目
二次型f(x_(1)，x_(2)，x_(3))=2x_(1)^2+x_(2)^2-4x_(3)^2-4x_(1)x_(2)-2x_(2)x_(3)的标准型为（ ）A. 2y_(1)^2-y_(2)^2-3y_(3)^2B. -2y_(1)^2-y_(2)^2-3y_(3)^2C. -2y_(1)^2+y_(2)^2D. 2y_(1)^2+y_(2)^2+3y_(3)^2
二次型$f(x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3})=2x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}$的标准型为（ ）
A. $2y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-3y_{3}^{2}$
B. $ -2y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-3y_{3}^{2}$
C. $ -2y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$
D. $ 2y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+3y_{3}^{2}$
题目解答
答案
A. $2y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-3y_{3}^{2}$
解析
步骤 1：二次型的矩阵表示
二次型$f(x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3})=2x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}$可以表示为矩阵形式$X^{T}AX$，其中$X=[x_{1},x_{2},x_{3}]^{T}$，$A$为二次型的矩阵。根据二次型的系数，可以得到矩阵$A$为：
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & -2 & 0 \\
-2 & 1 & -1 \\
0 & -1 & -4
\end{bmatrix}
$$
步骤 2：求矩阵$A$的特征值和特征向量
求解矩阵$A$的特征值和特征向量，可以得到特征值$\lambda_{1}=-2$，$\lambda_{2}=-1$，$\lambda_{3}=3$，对应的特征向量分别为$V_{1}=[1,1,0]^{T}$，$V_{2}=[0,1,1]^{T}$，$V_{3}=[1,-1,1]^{T}$。
步骤 3：构造正交矩阵$P$
将特征向量单位化并构造正交矩阵$P$，得到：
$$
P = \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{bmatrix}
$$
步骤 4：求二次型的标准型
通过正交变换$X=PY$，可以将二次型$f(x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3})$化为标准型$f(y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3})$，其中$Y=[y_{1},y_{2},y_{3}]^{T}$。根据特征值，可以得到标准型为：
$$
f(y_{1},y_{2},y_{3}) = -2y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + 3y_{3}^{2}
$$
二次型$f(x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3})=2x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}$可以表示为矩阵形式$X^{T}AX$，其中$X=[x_{1},x_{2},x_{3}]^{T}$，$A$为二次型的矩阵。根据二次型的系数，可以得到矩阵$A$为：
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & -2 & 0 \\
-2 & 1 & -1 \\
0 & -1 & -4
\end{bmatrix}
$$
步骤 2：求矩阵$A$的特征值和特征向量
求解矩阵$A$的特征值和特征向量，可以得到特征值$\lambda_{1}=-2$，$\lambda_{2}=-1$，$\lambda_{3}=3$，对应的特征向量分别为$V_{1}=[1,1,0]^{T}$，$V_{2}=[0,1,1]^{T}$，$V_{3}=[1,-1,1]^{T}$。
步骤 3：构造正交矩阵$P$
将特征向量单位化并构造正交矩阵$P$，得到：
$$
P = \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{bmatrix}
$$
步骤 4：求二次型的标准型
通过正交变换$X=PY$，可以将二次型$f(x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3})$化为标准型$f(y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3})$，其中$Y=[y_{1},y_{2},y_{3}]^{T}$。根据特征值，可以得到标准型为：
$$
f(y_{1},y_{2},y_{3}) = -2y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + 3y_{3}^{2}
$$