题目
186 下列用牛顿一莱布尼茨公式计算积分的做法中,错误的做法一共有-|||-① sqrt ({sin )^3x-(sin )^6x}dx=(int )_(0)^x(sin )^dfrac (3{x)}cos xdx=dfrac (2)(5)(sin )^dfrac (5{x)}x(int )_(0)^1=0.-|||-② (int )_(-1)^1dfrac (dx)(x)=ln (|x|)^1=0.-|||-③ (int )_(0)^pi dfrac ({sec )^2x}(2+{tan )^2x}dx=dfrac (1)(sqrt {2)}arctan dfrac (tan x)(sqrt {2)}(int )_(0)^x=0.-|||-④(int )_(-1)^1dfrac (d)(dx)(arctan dfrac (1)(x))dx=arctan dfrac (1)(x)(|)^1=dfrac (pi )(2)-|||-(A)1个. (B)2个. (C)3个. (D)4个.
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析①
$\sqrt {{\sin }^{3}x-{\sin }^{6}x}dx={\int }_{0}^{\pi }{\sin }^{\dfrac {3}{2}}x\cos xdx=\dfrac {2}{5}{\sin }^{\dfrac {5}{2}}x{\int }_{0}^{\pi }=0$ 这个计算是正确的，因为 $\dfrac {2}{5}{\sin }^{\dfrac {5}{2}}x$ 在 $[0, \pi]$ 上是 $\sqrt {{\sin }^{3}x-{\sin }^{6}x}$ 的原函数，且在 $x=0$ 和 $x=\pi$ 时的值相等，所以积分结果为0。
步骤 2：分析②
${\int }_{-1}^{1}\dfrac {dx}{x}=\ln {|x|}^{1}=0$ 这个计算是错误的，因为 $\dfrac {1}{x}$ 在 $x=0$ 处无定义，且在 $[-1, 1]$ 上是无界的，所以不能直接用牛顿-莱布尼茨公式计算。
步骤 3：分析③
${\int }_{0}^{\pi }\dfrac {{\sec }^{2}x}{2+{\tan }^{2}x}dx=\dfrac {1}{\sqrt {2}}\arctan \dfrac {\tan x}{\sqrt {2}}{\int }_{0}^{\pi }=0$ 这个计算是错误的，因为 $\dfrac {1}{\sqrt {2}}\arctan \dfrac {\tan x}{\sqrt {2}}$ 在 $x=\dfrac {\pi}{2}$ 处无定义，所以不能直接用牛顿-莱布尼茨公式计算。
步骤 4：分析④
${\int }_{-1}^{1}\dfrac {d}{dx}(\arctan \dfrac {1}{x})dx=\arctan \dfrac {1}{x}{|}^{1}=\dfrac {\pi }{2}$ 这个计算是错误的，因为 $\dfrac {d}{dx}(\arctan \dfrac {1}{x})$ 在 $x=0$ 处无定义，所以不能直接用牛顿-莱布尼茨公式计算。
$\sqrt {{\sin }^{3}x-{\sin }^{6}x}dx={\int }_{0}^{\pi }{\sin }^{\dfrac {3}{2}}x\cos xdx=\dfrac {2}{5}{\sin }^{\dfrac {5}{2}}x{\int }_{0}^{\pi }=0$ 这个计算是正确的，因为 $\dfrac {2}{5}{\sin }^{\dfrac {5}{2}}x$ 在 $[0, \pi]$ 上是 $\sqrt {{\sin }^{3}x-{\sin }^{6}x}$ 的原函数，且在 $x=0$ 和 $x=\pi$ 时的值相等，所以积分结果为0。
步骤 2：分析②
${\int }_{-1}^{1}\dfrac {dx}{x}=\ln {|x|}^{1}=0$ 这个计算是错误的，因为 $\dfrac {1}{x}$ 在 $x=0$ 处无定义，且在 $[-1, 1]$ 上是无界的，所以不能直接用牛顿-莱布尼茨公式计算。
步骤 3：分析③
${\int }_{0}^{\pi }\dfrac {{\sec }^{2}x}{2+{\tan }^{2}x}dx=\dfrac {1}{\sqrt {2}}\arctan \dfrac {\tan x}{\sqrt {2}}{\int }_{0}^{\pi }=0$ 这个计算是错误的，因为 $\dfrac {1}{\sqrt {2}}\arctan \dfrac {\tan x}{\sqrt {2}}$ 在 $x=\dfrac {\pi}{2}$ 处无定义，所以不能直接用牛顿-莱布尼茨公式计算。
步骤 4：分析④
${\int }_{-1}^{1}\dfrac {d}{dx}(\arctan \dfrac {1}{x})dx=\arctan \dfrac {1}{x}{|}^{1}=\dfrac {\pi }{2}$ 这个计算是错误的，因为 $\dfrac {d}{dx}(\arctan \dfrac {1}{x})$ 在 $x=0$ 处无定义，所以不能直接用牛顿-莱布尼茨公式计算。