26.（填空题，2.0分）函数f(x,y)=x^2+5y^2-6x+10y+6的极小值为____

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括临界点的求解和极值类型的判定。

解题核心思路：

1. 求偏导数：分别对$x$和$y$求一阶偏导，联立方程求解临界点坐标。
2. 二阶导数检验：计算二阶偏导数，通过判别式$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$判断临界点是否为极值点。
3. 代入求值：若临界点为极小值点，则代入原函数计算极小值。

破题关键：

• 正确求解偏导数，尤其注意符号。
• 判别式的应用：当$D > 0$且$f_{xx} > 0$时，临界点为极小值点。

步骤1：求一阶偏导数并解方程组

对$f(x, y) = x^2 + 5y^2 - 6x + 10y + 6$分别求偏导：

• 对$x$求偏导：
  $f_x = 2x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$
• 对$y$求偏导：
  $f_y = 10y + 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -1$

临界点为$(3, -1)$。

步骤2：计算二阶偏导数并判断极值类型

计算二阶偏导数：

• $f_{xx} = 2, \quad f_{xy} = 0, \quad f_{yy} = 10$
• 判别式：
  $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \times 10 - 0^2 = 20 > 0$
  且$f_{xx} = 2 > 0$，因此$(3, -1)$是极小值点。

步骤3：计算极小值

将临界点代入原函数：
$f(3, -1) = 3^2 + 5(-1)^2 - 6 \times 3 + 10 \times (-1) + 6 = 9 + 5 - 18 - 10 + 6 = -8$