当|x|较小时,证明下列近似公式:-|||-(1) sin xapprox x :-|||-(2) ^xapprox 1+x ;-|||-(3) sqrt [3](1+x)approx 1+dfrac (x)(n)

本题主要考察利用微分近似公式证明常见函数的近似公式，核心思路是利用微分的局部线性近似原理：当$|x|$较小时（即$x$接近$0$），函数$f(x)$在$x_0=0$处可近似表示为$ff(x)\approx f(0)+f'(0)x$，具体步骤如下：

（1）证明$\sin x\approx x$

步骤1：选择函数与点
取$f(x)=\sin x$，$x_0=0$（因$|x|$较小，$x$接近$0$）。
步骤2：计算$f(0)$和$f'(0)$

• $f(0)=\sin 0=0$
• $f'(x)=\cos x$，故$f'(0)=\cos 0=1$
  步骤3：应用微分近似公式
  $f(x)\approx f(0)+f'(0)x$，代入得$\sin x\approx 0+1\cdot x=x$。

（2）证明$e^x\approx 1+x$

步骤1：选择函数与点
取$f(x)=e^x$，$x_0=0$。
步骤2：计算$f(0)$和$f'(0)$

• $f(0)=e^0=1$
• $f'(x)=e^x$，故$f'(0)=e^0=1$
  步骤3：应用微分近似公式
  $f(x)\approx f(0)+f'(0)x$，代入得$e^x\approx 1+1\cdot x=1+x$。

（3）证明$\sqrt[n]{1+x}\approx 1+\frac{x}{n}$

步骤1：选择函数与点
取$f(x)=\sqrt[n]{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{n}}$，$x_0=0$。
步骤2：计算$f(0)$和$f'(0)$

• $f(0)=(1+0)^{\frac{1}{n}}=1$
• $f'(x)=\frac{1}{n}(1+x)^{\frac{1}{n}-1}$，故$f'(0)=\frac{1}{n}(1+0)^{\frac{1}{n}-1}=\frac{1}{n}$
  步骤3：应用微分近似公式
  $f(x)\approx f(0)+f'(0)x$，代入得$\sqrt[n]{1+x}\approx 1+\frac{1}{n}x$。