题目

7. (5.0分) 设f(x,y)=e^-xsin(x+2y)，则f_(x)(0,(pi)/(4))=____

7. (5.0分) 设$f(x,y)=e^{-x}\sin(x+2y)$，则$f_{x}(0,\frac{\pi}{4})=$____

题目解答

答案

首先，计算 $ f(x, y) = e^{-x} \sin(x + 2y) $ 关于 $ x $ 的偏导数： \[ f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{-x} \sin(x + 2y) \right) = -e^{-x} \sin(x + 2y) + e^{-x} \cos(x + 2y) \] 在点 $ (0, \frac{\pi}{4}) $ 处求值： \[ f_x(0, \frac{\pi}{4}) = -e^0 \sin\left(0 + \frac{\pi}{2}\right) + e^0 \cos\left(0 + \frac{\pi}{2}\right) = -1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -1 \] **答案：** $\boxed{-1}$

解析

考查要点：本题主要考查二元函数的偏导数计算，特别是对乘积法则的应用以及代入特定点求值的能力。

解题核心思路：

  1. 识别函数结构：函数$f(x,y)=e^{-x}\sin(x+2y)$是两个函数的乘积，即$e^{-x}$和$\sin(x+2y)$。
  2. 应用乘积法则：对$x$求偏导时，需分别对$e^{-x}$和$\sin(x+2y)$求导，再组合结果。
  3. 代入特定点：将$x=0$和$y=\frac{\pi}{4}$代入偏导数表达式，结合三角函数值简化计算。

破题关键点：

  • 正确应用乘积法则，注意符号处理。
  • 准确计算$\sin(\frac{\pi}{2})=1$和$\cos(\frac{\pi}{2})=0$，避免代入错误。

步骤1：对$f(x,y)$关于$x$求偏导
根据乘积法则：
$\begin{aligned}f_x(x,y) &= \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{-x} \right) \cdot \sin(x+2y) + e^{-x} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( \sin(x+2y) \right) \\&= -e^{-x} \sin(x+2y) + e^{-x} \cos(x+2y).\end{aligned}$

步骤2：代入点$(0, \frac{\pi}{4})$
计算各部分的值：

  • $e^{-0} = 1$
  • $x + 2y = 0 + 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
  • $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$，$\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$

代入偏导数表达式：
$f_x(0, \frac{\pi}{4}) = -1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -1.$