题目
5、单选 若区域D为 ((x-1))^2+(y)^2leqslant 1, 则二重积分-|||-(iint )_(D)^f(x,y)dxdy 化成极坐标下累次积分为 ()-|||-.-|||-(3分)-|||-A (int )_(-pi )^pi dtheta (int )_(0)^2cos theta f(rcos theta ,rsin theta )rdr-|||-B (int )_(0)^pi dtheta (int )_(0)^2cos theta f(rcos theta ,rsin theta )rdr-|||-C (int )_(0)^dfrac (pi {2)}dtheta (int )_(0)^2cos theta f(rcos theta ,rsin theta )rdr-|||-D (int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}dtheta (int )_(0)^2cos theta f(rcos theta ,rsin theta )rdr
题目解答
答案
D. ${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta {\int }_{0}^{2\cos \theta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$
解析
步骤 1：确定积分区域
题目中没有明确给出积分区域D的形状，但根据选项中的积分上下限，可以推测积分区域D是一个关于y轴对称的区域，且在极坐标下，$r$的范围是$0$到$2\cos\theta$，$\theta$的范围是$-\frac{\pi}{2}$到$\frac{\pi}{2}$。这表明积分区域D是一个以原点为中心，半径为1的圆的上半部分。
步骤 2：转换为极坐标
在极坐标系中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$。因此，原积分${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$可以转换为${\iint }_{D}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta$。
步骤 3：确定积分上下限
根据步骤1的分析，$r$的范围是$0$到$2\cos\theta$，$\theta$的范围是$-\frac{\pi}{2}$到$\frac{\pi}{2}$。因此，积分可以写为${\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta {\int }_{0}^{2\cos\theta}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr$。
题目中没有明确给出积分区域D的形状，但根据选项中的积分上下限，可以推测积分区域D是一个关于y轴对称的区域，且在极坐标下，$r$的范围是$0$到$2\cos\theta$，$\theta$的范围是$-\frac{\pi}{2}$到$\frac{\pi}{2}$。这表明积分区域D是一个以原点为中心，半径为1的圆的上半部分。
步骤 2：转换为极坐标
在极坐标系中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$。因此，原积分${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$可以转换为${\iint }_{D}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta$。
步骤 3：确定积分上下限
根据步骤1的分析，$r$的范围是$0$到$2\cos\theta$，$\theta$的范围是$-\frac{\pi}{2}$到$\frac{\pi}{2}$。因此，积分可以写为${\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta {\int }_{0}^{2\cos\theta}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr$。