4.设某一工厂有A，B，C三间车间，它们生产同一种螺钉，各个车间的产量分别占该厂生产螺钉 总产量的25%，35%，40%，各个车间生产的螺钉中次品的百分比分别为5%，4%，2%.如果从全厂总产 品中抽取一件产品，(1)求抽到的产品是次品的概率；(2)已知得到的是次品，求它依次是车间A，B， C生产的概率.

为了解决这个问题，我们将使用全概率定律和贝叶斯定理。让我们一步步来分析。

第一步：定义事件

• 设 $A$ 为产品来自车间A的事件。
• 设 $B$ 为产品来自车间B的事件。
• 设 $C$ 为产品来自车间C的事件。
• 设 $D$ 为产品是次品的事件。

第二步：给定概率

• 产品来自车间A的概率， $P(A) = 0.25$。
• 产品来自车间B的概率， $P(B) = 0.35$。
• 产品来自车间C的概率， $P(C) = 0.40$。
• 产品来自车间A是次品的概率， $P(D|A) = 0.05$。
• 产品来自车间B是次品的概率， $P(D|B) = 0.04$。
• 产品来自车间C是次品的概率， $P(D|C) = 0.02$。

第三步：求抽到的产品是次品的概率

使用全概率定律，我们有：
$P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C)$
代入给定的值：
$P(D) = (0.05 \times 0.25) + (0.04 \times 0.35) + (0.02 \times 0.40)$
$P(D) = 0.0125 + 0.014 + 0.008$
$P(D) = 0.0345$
因此，抽到的产品是次品的概率是 $\boxed{0.0345}$。

第四步：求已知产品是次品时，它来自车间A，B，C的概率

使用贝叶斯定理，我们可以找到这些概率。

已知产品是次品时，它来自车间A的概率

$P(A|D) = \frac{P(D|A)P(A)}{P(D)} = \frac{0.05 \times 0.25}{0.0345} = \frac{0.0125}{0.0345} = \frac{25}{69}$

已知产品是次品时，它来自车间B的概率

$P(B|D) = \frac{P(D|B)P(B)}{P(D)} = \frac{0.04 \times 0.35}{0.0345} = \frac{0.014}{0.0345} = \frac{28}{69}$

已知产品是次品时，它来自车间C的概率

$P(C|D) = \frac{P(D|C)P(C)}{P(D)} = \frac{0.02 \times 0.40}{0.0345} = \frac{0.008}{0.0345} = \frac{16}{69}$

因此，已知产品是次品时，它来自车间A，B，C的概率分别是 $\boxed{\frac{25}{69}, \frac{28}{69}, \frac{16}{69}}$。