3.求 f(x,y)=4(x-y)-x^2-y^2 的极值.(3分) 请输入内容或上传图片…

本题考查多元函数极值的求解，解题思路可以通过配方法或者偏导数法来求解。

方法一：配方法

将函数$f(x,y)=4(x - y) - x^2 - y^2$进行配方：
$\begin{align*}f(x,y)&=4x-4y - x\\\\&=-(x^2 - 4x + 4) - (y^2 + 4y + 4)) + 8\\&=-(x - 2)^2 - (y + 2)^2 + 8\end{align*}$
因为$(x - 2)^2 \geq 0$和$(y + 2)^2 \geq 0$，当$x = 2$且$y = -2$时，$(x - 2)^2 = 0$且$(y + 2)^2 = 0$，此时函数取得最大值$8$。

方法二：偏导数法

1. 求偏导数：
   对$f(x,y)$分别求关于$x$和$y$的偏导数：
   $\frac{\partial f}{\partial x}=4 - 2x$，$\frac{\partial f}{\partial y}=-4 - 2y$。
2. 令偏导数为$0$，求临界点：
   令$\frac{\partial f}{\partial x}=0$，即$4 - 2x = 0$，解得$x = 2$；
   令$\frac{\partial f}{\partial y}=0$，即$-4 - 2y = 0$，解得$y = -2$。
   所以临界点为$(2,-2)$。
3. 求二阶偏导数：
   $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-2$，$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-2$，$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=0$。
4. 进行二阶导数测试：
   $A=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-2$，$B=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-2$，$C=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=0$。
   $AC - B^2 = (-2)\times(-2) - 0^2 = 4>0$，且$A=-2<0$，所以函数在点$(2,-2)$处取得极大值。
   将$x = 2$，$y = -2$代入函数$f(x,y)$得：
   $f(2,-2)=4\times(2 - (-2)) - 2^2 - (-2)^2 = 8$。