曲线 y=ln(1+e^x) 的渐近线为

渐近线是函数在特定方向（如$x \to \pm\infty$）趋近于某条直线的表现。本题需判断曲线$y = \ln(1 + e^x)$的渐近线类型，核心思路如下：

1. 水平渐近线：当$x \to -\infty$时，分析函数值是否趋于常数；
2. 斜渐近线：当$x \to +\infty$时，判断是否存在一次函数$y = ax + b$使得函数与该直线的差趋于$0$。

关键点：

• 当$x \to -\infty$时，$e^x \to 0$，函数值趋于$\ln 1 = 0$；
• 当$x \to +\infty$时，$1 + e^x \approx e^x$，函数近似为$\ln e^x = x$，需验证斜渐近线的存在性。

水平渐近线（$x \to -\infty$）

当$x \to -\infty$时，$e^x \to 0$，因此：
$\lim_{x \to -\infty} \ln(1 + e^x) = \ln(1 + 0) = \ln 1 = 0$
结论：水平渐近线为$y = 0$。

斜渐近线（$x \to +\infty$）

1. 求斜率$a$：
   $a = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(1 + e^x)}{x}$
   当$x \to +\infty$时，$1 + e^x \approx e^x$，故：
   $\ln(1 + e^x) \approx \ln e^x = x \quad \Rightarrow \quad a = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x} = 1$

2. 求截距$b$：
   $b = \lim_{x \to +\infty} (y - a x) = \lim_{x \to +\infty} \left[ \ln(1 + e^x) - x \right]$
   将表达式变形：
   $\ln(1 + e^x) - x = \ln\left( \frac{1 + e^x}{e^x} \right) = \ln\left( 1 + e^{-x} \right)$
   当$x \to +\infty$时，$e^{-x} \to 0$，故：
   $\ln\left( 1 + e^{-x} \right) \to \ln 1 = 0$
   结论：斜渐近线为$y = x$。