4.四个级数(1) sum _(n=1)^infty (dfrac (1)(n)-sin dfrac (1)(n)) ;(2) sum _(n=1)^infty (dfrac (1)({n)^2}-sin dfrac (1)(n)); (3) sum _(n=1)^infty (dfrac (1)(sqrt {n)}-sin dfrac (1)(sqrt {n)});-|||-(4) sum _(n=1)^infty (dfrac (1)(sqrt [3]{n)}-sin dfrac (1)(sqrt [3]{n)}) 中收敛的是 () .-|||-(A)(1),(2) (B)(1),(3)-|||-(C)(1),(4) (D)(2),(3)

步骤 1：分析级数(1) $\sum _{n=1}^{\infty }(\dfrac {1}{n}-\sin \dfrac {1}{n})$
级数(1)中，$\dfrac {1}{n}-\sin \dfrac {1}{n}$ 可以用泰勒展开式近似为 $\dfrac {1}{6}\dfrac {1}{{n}^{3}}$，因为 $\sin x \approx x - \dfrac {x^3}{6}$。由于级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{3}}$ 收敛，由比较判别法知级数(1)收敛。

步骤 2：分析级数(2) $\sum _{n=1}^{\infty }(\dfrac {1}{{n}^{2}}-\sin \dfrac {1}{n})$
级数(2)中，$\sin \dfrac {1}{n} - \dfrac {1}{{n}^{2}}$ 可以用泰勒展开式近似为 $\dfrac {1}{n}$，因为 $\sin x \approx x$。由于级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 发散，由比较判别法知级数(2)发散。

步骤 3：分析级数(3) $\sum _{n=1}^{\infty }(\dfrac {1}{\sqrt {n}}-\sin \dfrac {1}{\sqrt {n}})$
级数(3)中，$\dfrac {1}{\sqrt {n}}-\sin \dfrac {1}{\sqrt {n}}$ 可以用泰勒展开式近似为 $\dfrac {1}{6}\dfrac {1}{{n}^{3/2}}$。由于级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{3/2}}$ 收敛，由比较判别法知级数(3)收敛。

步骤 4：分析级数(4) $\sum _{n=1}^{\infty }(\dfrac {1}{\sqrt [3]{n}}-\sin \dfrac {1}{\sqrt [3]{n}})$
级数(4)中，$\dfrac {1}{\sqrt [3]{n}}-\sin \dfrac {1}{\sqrt [3]{n}}$ 可以用泰勒展开式近似为 $\dfrac {1}{6}\dfrac {1}{n}$。由于级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 发散，由比较判别法知级数(4)发散。