4.设X,Y是相互独立的两个随机变量，分布函数分别为F_(x)(x)，F_(y)(y)，则Z=minX,Y的分布函数可以表示为（）.A. F_(z)(z)=F_(x)(z)F_(y)(z)B. F_(z)(z)=(1-F_(x)(z))(1-F_(y)(z))C. F_(z)(z)=1-F_(x)(z)F_(y)(z)D. F_(z)(z)=1-(1-F_(x)(z))(1-F_(y)(z))

本题考查两个相互独立随机变量的最小值的分布函数的求解，解题思路是先根据分布函数的定义写出$Z = \min\{X, Y\}$的分布函数表达式，再利用$X$与$Y$相互独立的性质进行化简。

步骤一：根据分布函数的定义写出$Z$的分布函数表达式

分布函数的定义为$F_Z(z)=P(Z\leq z)$，已知$Z = \min\{X, Y\}$，则$F_Z(z)=P(\min\{X, Y\}\leq z)$。

步骤二：对$P(\min\{X, Y\}\leq z)$进行转化

$P(\min\{X, Y\}\leq z)$的对立事件是$P(\min\{X, Y\}> z)$，根据概率的基本性质$P(A)=1 - P(\overline{A})$，可得$P(\min\{X, Y\}\leq z)=1 - P(\min\{X, Y\}> z)$。

步骤三：分析$P(\min\{X, Y\}> z)$

$\min\{X, Y\}> z$等价于$X > z$且$Y > z$，即$P(\min\{X, Y\}> z)=P(X > z, Y > z)$。

步骤四：利用$X$与$Y$相互独立的性质化简$P(X > z, Y > z)$

因为$X$与$Y$相互独立，根据相互独立事件的概率乘法公式$P(AB)=P(A)P(B)$，可得$P(X > z, Y > z)=P(X > z)P(Y > z)$。
又因为$P(X > z)=1 - P(X\leq z)=1 - F_X(z)$，$P(Y > z)=1 - P(Y\leq z)=1 - F_Y(z)$，所以$P(X > z)P(Y > z)=(1 - F_X(z))(1 - F_Y(z))$。

步骤五：得出$F_Z(z)$的表达式

将$P(\min\{X, Y\}> z)=(1 - F_X(z))(1 - F_Y(z))$代入$P(\min\{X, Y\}\leq z)=1 - P(\min\{X, Y\}> z)$，可得$F_Z(z)=1 - (1 - F_X(z))(1 - F_Y(z))$。