(9学分)求幂级数 sum _(n=1)^infty dfrac ({(x-3))^n}(ncdot {3)^n} 的收敛域.

考查要点：本题主要考查幂级数收敛域的求解方法，包括收敛半径的计算及端点收敛性的判断。

解题核心思路：

1. 识别幂级数形式：题目中的幂级数为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n \cdot 3^n}$（需注意题目可能存在书写误差，实际形式应包含分母$n \cdot 3^n$）。
2. 求收敛半径：利用根值法或比值法确定收敛半径$R$。
3. 确定收敛区间：根据收敛半径得到区间$(3-R, 3+R)$，再分别验证端点$x=0$和$x=6$处的收敛性。

破题关键点：

• 正确识别级数形式是解题基础，需结合答案反推题目可能的正确形式。
• 端点收敛性判断需分别代入后通过比较判别法或已知级数性质进行分析。

步骤1：求收敛半径

幂级数为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n \cdot 3^n}$，令$a_n = \frac{1}{n \cdot 3^n}$，使用根值法：
$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n \cdot 3^n} \right)^{1/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{n^{1/n}} = \frac{1}{3}.$
因此，收敛半径$R = 3$。

步骤2：确定收敛区间

收敛区间为$|x-3| < 3$，即$0 < x < 6$。需验证端点$x=0$和$x=6$处的收敛性。

端点$x=0$

代入得$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，这是交错调和级数，绝对收敛，故$x=0$处收敛。

端点$x=6$

代入得$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，这是调和级数，发散，故$x=6$处不收敛。