题目
证明：当x＞0时，lnx＜x．
证明：当x＞0时，lnx＜x．
题目解答
答案
证明：令y=x-lnx，则y′=1-$\frac{1}{x}$，当x≥1时，y′≥0，函数y=x-lnx是增函数，f（x）≥f（1）恒成立．
∴x-lnx≥1，可得lnx＜x．
当x∈（0，1）时，lnx＜0，显然lnx＜x．
综上：当x＞0时，lnx＜x．
∴x-lnx≥1，可得lnx＜x．
当x∈（0，1）时，lnx＜0，显然lnx＜x．
综上：当x＞0时，lnx＜x．
解析
步骤 1：定义函数
定义函数y = x - lnx，其中x > 0。我们的目标是证明y > 0，即x - lnx > 0，从而证明lnx < x。
步骤 2：求导数
求函数y = x - lnx的导数y'。根据导数的定义，y' = 1 - 1/x。
步骤 3：分析导数的符号
当x > 1时，1/x < 1，因此y' = 1 - 1/x > 0，说明函数y = x - lnx在x > 1时是增函数。
当0 < x < 1时，1/x > 1，因此y' = 1 - 1/x < 0，说明函数y = x - lnx在0 < x < 1时是减函数。
步骤 4：确定函数的最小值
由于y = x - lnx在x = 1时取得最小值，此时y = 1 - ln1 = 1 - 0 = 1 > 0。因此，对于所有x > 0，都有y = x - lnx > 0。
步骤 5：得出结论
由于y = x - lnx > 0，即x - lnx > 0，因此lnx < x。
定义函数y = x - lnx，其中x > 0。我们的目标是证明y > 0，即x - lnx > 0，从而证明lnx < x。
步骤 2：求导数
求函数y = x - lnx的导数y'。根据导数的定义，y' = 1 - 1/x。
步骤 3：分析导数的符号
当x > 1时，1/x < 1，因此y' = 1 - 1/x > 0，说明函数y = x - lnx在x > 1时是增函数。
当0 < x < 1时，1/x > 1，因此y' = 1 - 1/x < 0，说明函数y = x - lnx在0 < x < 1时是减函数。
步骤 4：确定函数的最小值
由于y = x - lnx在x = 1时取得最小值，此时y = 1 - ln1 = 1 - 0 = 1 > 0。因此，对于所有x > 0，都有y = x - lnx > 0。
步骤 5：得出结论
由于y = x - lnx > 0，即x - lnx > 0，因此lnx < x。